方程求解

考慮一個具一般性的例子，有一個以下的方程：

${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})=c}$,

其中${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$為未知數，而${\displaystyle c}$為常數。其解為反像集合的成員

${\displaystyle f^{-1}[c]=\left\{\left(a_{1},\ldots ,a_{n}\right)\in T_{1}\times \ldots \times T_{n}|f\left(a_{1},\ldots ,a_{n}\right)=c\right\}}$

其中${\displaystyle T_{1},\ldots ,T_{n}}$為函數${\displaystyle f}$的定義域。注意解集合可能為空集合（沒有解）、单元素集合（唯一解）、有限個元素的集合及無限多個元素的集合（有無限多的解）。

例如，以下的方程：

${\displaystyle 3x+2y=21z}$

其未知數為${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$及${\displaystyle z}$，可以在等式二側同減${\displaystyle 21z}$，得到以下的式子：

${\displaystyle 3x+2y-21z=0}$

以此例而言，方程不會只有唯一解，方程解的個數有無限多個，可以寫為以下的集合

${\displaystyle \left\{\left(x,y,z\right)|3x+2y-21z=0\right\}}$.

其中一個特殊解為${\displaystyle x=0,y=0,z=0}$，而${\displaystyle x=3,y=6,z=1}$和${\displaystyle x=8,y=9,z=2}$也是其解。解集合描述一個三維空間中，恰好穿過上述三個點的平面。

若解集合為空集合，表示不存在${\displaystyle x_{i}}$使得以下方程成立

${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})=c}$,

其中${\displaystyle c}$為一特定常數。

例如考慮一個經典的單變數例子，考慮定義域為整數的平方函數${\displaystyle f}$：

${\displaystyle f(x)=x^{2}}$,

考慮以下方程

${\displaystyle f(x)=2}$.

其解集合為${\displaystyle \left\{\right\}}$，是空集合。因為2不是任何整數的平方，因此不可能找到整數可以使以上方程成立。但若修改函數的定義域，將其定義域改為所有實數，則上式有二個解，其解集合為

${\displaystyle \left\{{\sqrt {2}},-{\sqrt {2}}\right\}}$.

有些方程的解集合可能形成一個平面或曲面。例如在學習基礎數學時，有提及形式為${\displaystyle ax+by=c}$的方程，其中${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, 和${\displaystyle c}$都是實數的常數，且${\displaystyle a}$和${\displaystyle b}$至少有一個不為零，其解集合形成向量空間${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$中的一條直線。不過有些解集合不易用圖解表示，例如${\displaystyle ax+by+cz+dw=k}$（${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$, ${\displaystyle d}$, and ${\displaystyle k}$為實數的常數）的解集合會形成超平面。

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