施泰纳-莱穆斯定理

反证法

在 ${\displaystyle \triangle ABC}$ 中，两条内角平分线 ${\displaystyle CE=BD}$ 。

假设 ${\displaystyle \angle ABC\neq \angle ACB}$ ，令 ${\displaystyle \angle ABC=2\alpha <\angle ACB=2\beta }$ 。

在线段 ${\displaystyle AB}$ 上取点 ${\displaystyle G}$，使 ${\displaystyle \angle ECG=\alpha }$， ${\displaystyle CG}$ 交 ${\displaystyle BD}$ 于点 ${\displaystyle F}$ 。

${\displaystyle \triangle CEG\sim \triangle BFG}$${\displaystyle \;\Rightarrow \;}$${\displaystyle {CG \over BG}={CE \over BF}={BD \over BF}>1}$${\displaystyle \;\Rightarrow \;}$${\displaystyle CG>BG}$${\displaystyle \;\Rightarrow \;}$${\displaystyle \angle CBG>\angle BCG}$${\displaystyle \;\Rightarrow \;}$${\displaystyle \alpha >\beta }$

结论与假设矛盾，故假设不成立。故 ${\displaystyle \angle ABC=\angle ACB}$ 。[5]

直接证明法

在 ${\displaystyle \triangle ABC}$ 中，两条内角平分线 ${\displaystyle BE=CD}$ 。记 ${\displaystyle \angle CBE=\angle ABE=\alpha }$ ，${\displaystyle \angle BCD=\angle ACD=\beta }$ 。

做直线 ${\displaystyle EF}$ ，使 ${\displaystyle \angle BEF=\beta }$。做直线 ${\displaystyle BF}$ ，使 ${\displaystyle \angle EBF=\angle CDB=180^{\circ }-2\alpha -\beta }$ 。

${\displaystyle \triangle BEF\cong \triangle DCB}$${\displaystyle \;\Rightarrow \;}$${\displaystyle {\begin{cases}BF=DB\\EF=CB\\\end{cases}}}$

${\displaystyle {\begin{cases}EF=CB\\CF=CF\\\angle CBF=\angle FEC=180^{\circ }-\alpha -\beta >90^{\circ }\\\end{cases}}}$${\displaystyle \;\Rightarrow \;}$${\displaystyle \triangle CBF\cong \triangle FEC}$${\displaystyle \;\Rightarrow \;}$${\displaystyle BF=EC}$

${\displaystyle EC=BF=DB}$${\displaystyle \;\Rightarrow \;}$${\displaystyle \triangle DBC\cong \triangle ECB}$${\displaystyle \;\Rightarrow \;}$${\displaystyle \angle ABC=\angle ACB}$

该证明方法由F. G. Hesse于1874年发表。不过，该证明方法所用到的一些构造和定理，如“三角形内角和为180度”，本身需要用反证法去证明，因此一些纯粹主义者认为这一证明还是不够直接。[6]

利用角平分線長公式，可以简洁地证明施泰纳-莱穆斯定理。[7]

${\displaystyle t_{a}=t_{b}\ \,\Rightarrow \ \,{\sqrt {bc(1-{a^{2} \over (b+c)^{2}})}}={\sqrt {ac(1-{b^{2} \over (a+c)^{2}})}}}$

化简后得到： ${\displaystyle c(a+b+c)(a-b)[(a+b)(c^{2}+ab)+3abc+c^{3}]=0}$

连乘的其他各项都为正数，从而推出： ${\displaystyle a-b=0}$