旋转体

圆盘法图示

圆盘法是通过将图形按垂直于旋转轴的平面切成无数个圆盘，然后沿着旋转轴进行积分。

曲线${\displaystyle f(x)}$, ${\displaystyle g(x)}$, ${\displaystyle x=a}$, ${\displaystyle x=b}$ 所围成图形绕 ${\displaystyle x}$ 轴旋转所得体积由下式给出：

${\displaystyle V=\pi \int _{a}^{b}\vert f^{2}(x)-g^{2}(x)\vert \,dx}$

如果${\displaystyle g(x)=0}$（即所围成的图形以 ${\displaystyle x}$ 轴为边），这个式子就变成：

${\displaystyle V=\pi \int _{a}^{b}f^{2}(x)\,dx}$

圆柱壳法图示

圆柱壳法是将图形切割成无数个环形，然后沿半径进行积分。

曲线${\displaystyle f(x)}$, ${\displaystyle g(x)}$, ${\displaystyle x=a}$, ${\displaystyle x=b}$ 所围成图形绕 ${\displaystyle y}$ 轴旋转所得体积由下式给出：

${\displaystyle V=2\pi \int _{a}^{b}x\vert f(x)-g(x)\vert \,dx}$

如果${\displaystyle g(x)=0}$（即所围成的图形以 ${\displaystyle x}$ 轴为边），这个式子就变成：

${\displaystyle V=2\pi \int _{a}^{b}x\vert f(x)\vert \,dx}$