无界算子

在数学中, 特别是泛函分析与算符理论, 无界算子的概念提供了用于处理微分算符, 量子力学中无界可观测量等的一个抽象框架.

无界算子的名称具有一定的误导性，这是因为

  • “无界”有时可以被理解为 "无需有界"，或者說 "不一定有界"；
  • “算符”当被理解为“线性算符”（这和“有界算子”是相同的）；
  • 算符的定义域为线性子空间, 不必为全空间；
  • 线性子空间不必有界； 一般被假定为稠密；
  • 特殊情况下的有界算子，定义域被假定为全空间

不同于有界算子, 给定空间上的无界算子不构成代数，甚至不构成线性空间，这是因为每一个无界算子有各自的定义域。

“算子”通常指“有界线性算子”，但在以下内容中默认指“无界算子”。给定空间默认为希尔伯特空间，但可以扩展到巴拿赫空间与更有普遍性的拓扑矢量空间。

历史简述

无界算子理论诞生于20世纪20年代晚期以及30年代早期，作为量子力学严格数学框架的一部分而得到发展.[1] 約翰·馮·諾伊曼[2]以及Marshall Stone[3]爲理論發展的主要貢獻者。馮·諾伊曼在1936年利用图对无界算符进行分析.[4]

定义与基本性质

令 B1 与 B2 为 巴拿赫空间. 无界算子 (或简称为算子) T : B1 → B2是一个线性映射 T， 从B1 的线性子空间D(T) （T的定义域）映射到空间 B2.[5] 不同于惯例, T 可能不定义在整个空间B1.

如果函数图 Γ(T) 为一个闭集，算子T被称为闭算子.[6] （这里，图 Γ(T) 是直和B1 ⊕ B2的一个线性子空间，定义为所以对(x, Tx)的集合, x定义在T上）. 这意味着，对所有来自域T的点列(xn)，xn收敛到x， Txn 收敛到y, x在域T上成立，且 Tx = y.[6] 有界性可以通过图模描述: 算符 T 是有界的， 当且仅当它的定义域 D(T) 是关于下面的模的完备空间:[7]

如果在B1上定义域稠密，算子 T被稠密定义。这同样包括定义在整个 B1 上的算子, 因为整个空间本身稠密。 定义域的稠密是转置与伴随函数存在的充分必要条件。

若T : B1 → B2为闭集, 在它的定义域上稠密且连续, 则它定义在B1上.[8]

如果 T + a 是实数 a的正算符，希尔伯特空间 H 上稠密定义的算符 T被称作下有界. 即,对所有T域上的x来说，⟨Tx|x⟩ ≥ −a·||x||2 .[9] 如果 T 与 (–T) 都是下有界的，T有界.[9]

参考资料
  • Berezansky, Y.M.; Sheftel, Z.G.; Us, G.F., II, Birkhäuser, 1996 (see Chapter 12 "General theory of unbounded operators in Hilbert spaces").
  • Brezis, Haïm, , Paris: Mason, 1983 （法语）
  • Hazewinkel, Michiel (编), , , Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
  • Hall, B.C., , , Graduate Texts in Mathematics, Springer, 2013
  • Kato, Tosio, , , Classics in Mathematics, Springer-Verlag, 1995, ISBN 3-540-58661-X
  • Pedersen, Gert K., , Springer, 1989 (see Chapter 5 "Unbounded operators").
  • Reed, Michael; Simon, Barry, , 1: Functional Analysis revised and enlarged, Academic Press, 1980 (see Chapter 8 "Unbounded operators").
  • Yoshida, Kôsaku, sixth, Springer, 1980

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  1. Reed & Simon 1980，Notes to Chapter VIII, page 305
  2. von Neumann, J., , Mathematische Annalen, 1930, 102 (1): 49–131, doi:10.1007/BF01782338
  3. Stone, Marshall Harvey. . American Mathematical Society. 1932 [2014-03-29]. ISBN 978-0-8218-7452-3. （原始内容存档于2014-06-29）.
  4. von Neumann, J., , Annals of Mathematics, Second Series, 1936, 33 (2): 294–310, JSTOR 1968331, doi:10.2307/1968331
  5. Pedersen 1989，5.1.1
  6. Pedersen 1989，5.1.4
  7. Berezansky, Sheftel & Us 1996，page 5
  8. Suppose fj is a sequence in the domain of T that converges to g ∈ B1. Since T is uniformly continuous on its domain, Tfj is Cauchy in B2. Thus, (fj, Tfj) is Cauchy and so converges to some (f, Tf) since the graph of T is closed. Hence, f = g, and the domain of T is closed.
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