映射度

最简单也最重要的例子是从圆周到自身一个连续映射的度数（这称为卷绕数）：

${\displaystyle f\colon S^{1}\to S^{1}.\,}$

存在投影：

${\displaystyle \mathbb {R} \to S^{1}=\mathbb {R} /\mathbb {Z} \,}$, ${\displaystyle x\mapsto [x],}$

这里 [x] 是 x 模 1 等价类（即 ${\displaystyle x\sim y}$ 当且仅当 ${\displaystyle x-y}$ 是整数）。

如果

${\displaystyle f:S^{1}\to S^{1}\,}$

连续则存在一个连续映射

${\displaystyle F:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,}$

称为 f 到 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 的提升，使得 f([z]) = [F(z)]。这样一个提升在差一个整数相加下惟一确定，且

${\displaystyle \deg(f)=F(x+1)-F(x).\,}$

注意到

${\displaystyle F(x+1)-F(x)\,}$

是一个整数且关于 ${\displaystyle x}$ 也连续；实数线上局部常值函数一定是常数。从而此定义与 ${\displaystyle x}$ 的选择无关。

从球面到自身度数为 2 的一个映射。

映射度是同伦不变量；而且从球面到自身的连续映射是完全同伦不变量，即两个映射 ${\displaystyle f,g:S^{n}\to S^{n}\,}$ 同伦当且仅当 ${\displaystyle \deg(f)=\deg(g)}$。

换句话说，度数是一个同构 ${\displaystyle [S^{n},S^{n}]=\pi _{n}S^{n}\to \mathbf {Z} }$。

• 拓扑度数理论

• Flanders, H. . Dover. 1989.
• Hirsch, M. . Springer-Verlag. 1976. ISBN 0-387-90148-5.