普遍化

在谓词演算裡，以下的元定理

就是一般所稱的普遍化。

普遍化可以視為谓词演算的一條推理规则，也就是說：（ 以下的 ${\displaystyle x}$ 為任意變數，${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 為任意合式公式）

${\displaystyle {\mathcal {A}}}$可以推出 ${\displaystyle \forall x{\mathcal {A}}}$。

也可以用相继式表記為

${\displaystyle {\mathcal {A}}\vdash \forall x{\mathcal {A}}}$

但這個推理規則會嚴苛地限制演绎定理的適用範圍，如

${\displaystyle \vdash P(x)\Rightarrow \forall xP(x)}$

不成立，因为無法確定變數 ${\displaystyle x}$ 在${\displaystyle P(x)}$有沒有完全被約束（參見上面元定理一節）。這就破壞了元語言的＂十字旋轉門＂「 ${\displaystyle \vdash }$」跟逻辑语言的「${\displaystyle \Rightarrow }$」間的聯繫。也就是說，直觀上「 以合式公式${\displaystyle {\mathcal {A}}}$為前提，根據推理規則和公理可以推出合式公式${\displaystyle {\mathcal {B}}}$」跟「根據推理規則和公理可以推出合式公式${\displaystyle {\mathcal {A}}\Rightarrow {\mathcal {B}}}$」是等價的，但將普遍化視為推理規則就不免打破這個直觀聯繫。

以下的證明是基於將普遍化視為推理規則 。

${\displaystyle \vdash \forall x[P(x)\Rightarrow Q(x)]\Rightarrow [\forall xP(x)\Rightarrow \forall xQ(x)]}$

证明：

编号	公式	理由
1	${\displaystyle \forall x[P(x)\Rightarrow Q(x)]}$	假设
2	${\displaystyle \forall xP(x)}$	假设
3	${\displaystyle \forall x[P(x)\Rightarrow Q(x)]\Rightarrow [P(x)\Rightarrow Q(x)]}$	公理 PRED-1
4	${\displaystyle P(x)\Rightarrow Q(x)}$	从 (1) 和 (3) 通过肯定前件
5	${\displaystyle \forall xP(x)\Rightarrow P(x)}$	公理 PRED-1
6	${\displaystyle P(x)\ }$	从 (2) 和 (5) 通过肯定前件
7	${\displaystyle Q(x)\ }$	从 (6) 和 (4) 通过肯定前件
8	${\displaystyle \forall xQ(x)}$	从 (7) 通过普遍化
9	${\displaystyle \forall x[P(x)\Rightarrow Q(x)],\,\forall xP(x)\vdash \forall xQ(x)}$	总结 (1) 到 (8)
10	${\displaystyle \forall x[P(x)\Rightarrow Q(x)]\vdash \forall xP(x)\Rightarrow \forall xQ(x)}$	从 (9) 通过演绎定理
11	${\displaystyle \vdash \forall x[P(x)\Rightarrow Q(x)]\Rightarrow [\forall xP(x)\Rightarrow \forall xQ(x)]}$	从 (10) 通过演绎定理

步骤(10)中，因为 ${\displaystyle \forall xP(x)}$ 裡${\displaystyle x}$完全被約束，所以可以套用演繹定裡，步骤(11)也是基於類似的理由。