曲率半径

若曲线在笛卡尔坐标中为y(x) 作为函数图，则其曲率半径为（假设曲线可进行二阶微分）

$${\displaystyle R=\left|{\frac {\left(1+y'^{\,2}\right)^{\frac {3}{2}}}{y''}}\right|\,,}$$

其中${\textstyle y'={\frac {dy}{dx}}\,,}$${\textstyle y''={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},}$|z|为z的绝对值。

如果曲线是关于函数x(t)和y(t)的参数方程，则其曲率半径为

$${\displaystyle R=\left|{\frac {ds}{d\varphi }}\right|=\left|{\frac {\left({{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}}\right)^{\frac {3}{2}}}{{\dot {x}}{\ddot {y}}-{\dot {y}}{\ddot {x}}}}\right|}$$

其中${\textstyle {\dot {x}}={\frac {dx}{dt}},}$${\textstyle {\ddot {x}}={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}},}$${\textstyle {\dot {y}}={\frac {dy}{dt}},}$${\textstyle {\ddot {y}}={\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}.}$

由此启发，该结果可以表示为[4]

$${\displaystyle R={\frac {\left|\mathbf {v} \right|^{3}}{\left|\mathbf {v} \times \mathbf {\dot {v}} \right|}}\,,}$$

其中

$${\displaystyle \left|\mathbf {v} \right|={\big |}({\dot {x}},{\dot {y}}){\big |}=R{\frac {d\varphi }{dt}}\,.}$$

若γ : ℝ → ℝⁿ是ℝⁿ中的参数方程曲线，则曲线上每个点的曲率半径ρ : ℝ → ℝ ，由[5]此可知

$${\displaystyle \rho ={\frac {\left|{\boldsymbol {\gamma }}'\right|^{3}}{\sqrt {\left|{\boldsymbol {\gamma }}'\right|^{2}\,\left|{\boldsymbol {\gamma }}''\right|^{2}-\left({\boldsymbol {\gamma }}'\cdot {\boldsymbol {\gamma }}''\right)^{2}}}}\,.}$$

特殊情况下，若f(t)是从ℝ映射到ℝ的函数，则其图象的曲率半径γ(t) = (t, f (t))为

$${\displaystyle \rho (t)={\frac {\left|1+f'^{\,2}(t)\right|^{\frac {3}{2}}}{\left|f''(t)\right|}}.}$$

令γ如上，并固定t 。我们想要找到一个与t处的γ零阶、一阶和二阶导数相匹配的参数方程圆的半径ρ 。显然，半径与位置γ(t) 无关，而与速度γ′(t)和加速度γ″(t) 有关。 由向量v和w只能获得三个独立标量，即v · v 、 v · w和w · w 。因此，曲率半径一定是关于这三个标量函数。即 |γ′(t)|², |γ″(t)|²，γ′(t) · γ″(t) 。 [6]

ℝⁿ中圆的一般参数方程为

$${\displaystyle \mathbf {g} (u)=\mathbf {a} \cos(h(u))+\mathbf {b} \sin(h(u))+\mathbf {c} }$$

其中c ∈ ℝⁿ是圆心（无关，因为它在求导过程中消失）， a,b ∈ ℝⁿ是长度为ρ的相互垂直的向量（即， a · a = b · b = ρ²，a · b = 0 ), h : ℝ → ℝ是在t处可两次微分任意函数。

g的相关导数为

$${\displaystyle {\begin{aligned}|\mathbf {g} '|^{2}&=\rho ^{2}(h')^{2}\\\mathbf {g} '\cdot \mathbf {g} ''&=\rho ^{2}h'h''\\|\mathbf {g} ''|^{2}&=\rho ^{2}\left((h')^{4}+(h'')^{2}\right)\end{aligned}}}$$

若现在将g的导数等同于t处γ的相应导数，可得

$${\displaystyle {\begin{aligned}|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)|^{2}&=\rho ^{2}h'^{\,2}(t)\\{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\cdot {\boldsymbol {\gamma }}''(t)&=\rho ^{2}h'(t)h''(t)\\|{\boldsymbol {\gamma }}''(t)|^{2}&=\rho ^{2}\left(h'^{\,4}(t)+h''^{\,2}(t)\right)\end{aligned}}}$$

关于三个未知数（ ρ 、 h′(t)和h″(t) ）的三个方程可以求解其中的ρ ，可得曲率半径的公式为：

$${\displaystyle \rho (t)={\frac {\left|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right|^{3}}{\sqrt {\left|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right|^{2}\,\left|{\boldsymbol {\gamma }}''(t)\right|^{2}-{\big (}{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\cdot {\boldsymbol {\gamma }}''(t){\big )}^{2}}}}\,,}$$

提高可读性省略参数t ，可得

$${\displaystyle \rho ={\frac {\left|{\boldsymbol {\gamma }}'\right|^{3}}{\sqrt {\left|{\boldsymbol {\gamma }}'\right|^{2}\;\left|{\boldsymbol {\gamma }}''\right|^{2}-\left({\boldsymbol {\gamma }}'\cdot {\boldsymbol {\gamma }}''\right)^{2}}}}\,.}$$