更大篩法

假定${\displaystyle {\mathcal {S}}}$是一個質數及其冪次所組成的集合、${\displaystyle N}$是一個整數、${\displaystyle {\mathcal {A}}}$是${\displaystyle [1,N]}$這區間當中的整數的集合，且對於${\displaystyle q\in {\mathcal {S}}}$而言，至多只有${\displaystyle g(q)}$個包含${\displaystyle {\mathcal {A}}}$的元素的模${\displaystyle q}$同餘類的話，那有以下關係式：

${\displaystyle |{\mathcal {A}}|\leq {\frac {\sum _{q\in {\mathcal {S}}}\Lambda (q)-\log N}{\sum _{q\in {\mathcal {S}}}{\frac {\Lambda (q)}{g(q)}}-\log N}},}$

上式中，右側的分母為正數。[1]

根據加拉葛的結果，更大篩法用於下列大篩法失效的狀況，尤其適用於${\displaystyle \theta >{\frac {1}{2}}}$的狀況：[2]

使得對所有質數${\displaystyle p\leq N^{\theta +\epsilon }}$而言，${\displaystyle n}$模${\displaystyle p}$的階${\displaystyle \leq N^{\theta }}$為${\displaystyle {\mathcal {O}}(N^{\theta })}$的數${\displaystyle n\leq N}$的數量。

假若排除掉的模${\displaystyle p}$同餘類的數量隨${\displaystyle p}$變化的話，那麼更大篩法常會與大篩法結合使用。其中更大篩法會用於如上定義的${\displaystyle {\mathcal {S}}}$以做為許多同餘類被移除掉的集合；而大篩法則用套用在落於${\displaystyle {\mathcal {S}}}$之外的質數上，以得這些質數的資訊。[3]

• Gallagher, Patrick. . Acta Arithmetica. 1971, 18: 77–81. doi:10.4064/aa-18-1-77-81 .
• Croot, Ernie; Elsholtz, Christian. . Acta Mathematica Hungarica. 2004, 103 (3): 243–254. doi:10.1023/B:AMHU.0000028411.04500.e2 .