替罪羊树

替罪羊树
类型	樹
发明时间	1989年
发明者	阿爾尼·安德森、伊加爾·加爾佩林、羅納德·李維斯特
用大O符号表示的时间复杂度

替罪羊树（英語：）是電腦科學中，一种基于部分重建的自平衡二叉搜索树。在替罪羊树上，插入或删除节点的平攤最壞時間複雜度是 ${\text{O}}(\log n)$ ，搜索节点的最壞時間複雜度是 ${\text{O}}(\log n)$ 。

在非平衡的二叉搜索树中，每次操作以后检查操作路径，找到最高的满足 $\max(size(son_{L}),size(son_{R}))>\alpha *size(this)$ 的结点，重建整个子树。这样就得到了替罪羊树，而被重建的子树的原来的根就被称为替罪羊节点。常数 $\alpha$ 一般选择为 $0.7$ 左右。

与大多数平衡树所采用的缓慢调整的方式不同，替罪羊树采用了一种进行次数较少但代价较大的重构操作，即选择一个节点作为“替罪羊”，并将这个节点的子树直接重构成完全二叉树。因此，替罪羊树的最坏时间复杂度为 ${\text{O}}(n)$

理论

说一个二叉查找树是平衡的，当且仅当根节点左侧与右侧的节点各占一半，而替罪羊树则放松了这一限制，即，只需要满足

$size(left)\leq \alpha size(node)$

$size(right)\leq \alpha size(node)$

其中 $size$ 函数（递归地）定义如下

function size(node)
    if node = nil then
        return 0
    else
        return size(node->left) + size(node->right) + 1
    end if
end function

参考文献

Andersson, Arne. . . Springer-Verlag: 393–402. 1989. doi:10.1007/3-540-51542-9_33.（英文）
Galperin, Igal; Rivest, Ronald L. . Proceedings of the fourth annual ACM-SIAM Symposium on Discrete algorithms. 1993: 165–174.（英文）

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