最大公因數

54和24的最大公因数是多少？

数字54可以表示為几组不同正整數的乘積：

${\displaystyle 54=1\times 54=2\times 27=3\times 18=6\times 9}$

故54的正因數為${\displaystyle 1,2,3,6,9,18,27,54}$。

同樣地，24可以表示為：

${\displaystyle 24=1\times 24=2\times 12=3\times 8=4\times 6}$

故24的正因數為${\displaystyle 1,2,3,4,6,8,12,24}$。

这两组数列中的共同元素即为54和24的公因数：

${\displaystyle 1,2,3,6}$

其中的最大數6即為54和24的最大公因數，記為：

${\displaystyle \gcd(54,24)=6}$

如果两数的最大公因数为1，那么这两个数互質。例如，9和28就是互质数。

24乘60的矩形被十个12乘12的正方形格子完全覆盖，即12为24和60的最大公因数。推而广之，如果c是a和b的最大公因数，那么a乘b的矩形就可以被若干个边长为c的正方形格子完全覆盖。

假设有一个大小为24乘60的矩形区域，这个区域可以按照不同的大小划分正方形网格：1乘1、2乘2、3乘3、4乘4、6乘6、12乘12。因此，12是24和60的最大公因数。大小为24乘60的矩形区域，可以按照12乘12的大小划分正方形网格，一边有两格（${\displaystyle {\frac {24}{12}}=2}$）、另一边有五格（${\displaystyle {\frac {60}{12}}=5}$）。

可以通过質因數分解来计算最大公因数。例如计算${\displaystyle \gcd(18,84)}$，可以先进行质因数分解 ${\displaystyle 18=2\times 3^{2}}$ 和 ${\displaystyle 84=2^{2}\times 3\times 7}$，因为其中表达式${\displaystyle 2\times 3}$的「重合」，所以${\displaystyle \gcd(18,84)=6}$。实践中，这种方法只在数字比较小时才可行，因为对较大数进行质因数分解通常会耗费大量的时间。

再举一个用文氏图表示的例子，计算48和180的最大公因数。首先对这两个数进行质因数分解：

${\displaystyle 48=2\times 2\times 2\times 2\times 3}$

${\displaystyle 180=2\times 2\times 3\times 3\times 5}$

它们之中的共同元素是两个2和一个3：

[1]

最小公倍数${\displaystyle =2\times 2\times (2\times 2\times 3)\times 3\times 5=720}$

最大公因数${\displaystyle =2\times 2\times 3=12}$

相比质因数分解法，辗转相除法的效率更高。

计算${\displaystyle \gcd(18,48)}$时，先将48除以18得到商2、余数12，然后再将18除以12得到商1、余数6，再将12除以6得到商2、余数0，即得到最大公因数6。我们只关心每次除法的余数是否为0，为0即表示得到答案。这一算法更正式的描述是这样的：

${\displaystyle \gcd(a,0)=a}$

${\displaystyle \gcd(a,b)=\gcd(b,a\,\mathrm {mod} \,b)}$

其中

${\displaystyle a\,\mathrm {mod} \,b=a-b\left\lfloor {a \over b}\right\rfloor }$

如果参数都大于0，那么该算法可以写成更简单的形式：

${\displaystyle \gcd(a,a)=a}$,

${\displaystyle \gcd(a,b)=\gcd(a-b,b)\quad }$ 如果 a > b

${\displaystyle \gcd(a,b)=\gcd(a,b-a)\quad }$ 如果 b > a

运行时计算实现：

template<typename T>
T GCD(T a, T b) {
	if(b) while((a %= b) && (b %= a));
	return a + b;
}

编译时计算实现：

#include <iostream>
#include <type_traits>

template<typename T, std::enable_if_t<std::is_integral<T>::value, T> a, std::enable_if_t<std::is_integral<T>::value, T> b>
struct HCF{
public:
    static const T value=HCF<T, (a>b? b: a), (a>b? a%b: b%a)>::value;
};
template<typename T, std::enable_if_t<std::is_integral<T>::value, T> a>
struct HCF<T, a, 0>{
public:
    static const T value=a;
};
int main(){
    std::wcout<<HCF<int, 12, 64>::value<<std::endl;//Output: 4
}