最小平方頻譜分析法

凡尼切克法乃是利用標準的線性回歸或最小平方法，將一個離散訊號近似為許多不同頻率的弦波之加權總和[18]。這些弦波的頻率則是以類似巴寧所提出的方法來決定，並另外藉由減少最小平方擬合後的殘差以使每次決定的新頻率得到最佳化（這與匹配追蹤法加上反擬合前處理所得到的結果相同[12]）。並且，決定後的弦波數量必須不超過整個訊號的取樣點數量（同一頻率的正弦和餘弦波需視為不同的弦波）。

假設${\displaystyle \phi }$為一個由許多不同頻率的基底弦波加權總和所得的訊號向量，其基底函數以矩陣${\displaystyle {\textbf {A}}}$表示，而每個基底所對應的權重則以${\displaystyle x}$向量表示，也就是：

${\displaystyle \phi \approx {\textbf {A}}x}$

會希望權重向量${\displaystyle x}$使得上式在近似${\displaystyle \phi }$時的平方誤差和為最小。利用標準的線性回歸法即可求得${\displaystyle x}$的閉合形式解為[19]：

${\displaystyle x=({\textbf {A}}^{\mathrm {T} }{\textbf {A}})^{-1}{\textbf {A}}^{\mathrm {T} }\phi }$

其中，矩陣${\displaystyle {\textbf {A}}}$可由任意彼此獨立（但不需正交）的基底函數所組成；對頻譜分析而言，這些基底函數一般為某特定頻率範圍內均勻分布的正弦或餘弦波。如果在某過窄的頻寬內選擇了過多的頻率，則這些所選的函數可能不夠獨立、矩陣${\displaystyle {\textbf {A}}}$本身較為病態，而使得最後求得的頻譜不具意義[19]。

當矩陣${\displaystyle {\textbf {A}}}$的所有基底函數皆彼此正交（也就是彼此不相關，且矩陣中的每一行兩兩內積皆為零）時，${\displaystyle {\textbf {A}}^{\mathrm {T} }{\textbf {A}}}$為一對角矩陣；此外，當${\displaystyle {\textbf {A}}}$之每一行的能量（即向量之元素平方和）皆相等時，${\displaystyle {\textbf {A}}^{\mathrm {T} }{\textbf {A}}}$便為一單位矩陣與某常數相乘的積，而其反矩陣的計算便相當容易。假設取樣間距為${\displaystyle t}$，那麼後者的情況即是當取樣間距相同，且基底函數選擇的是頻率範圍為${\displaystyle (0,1/2t)}$內成對的正弦和餘弦波（每個基底的頻率為${\displaystyle 1/Nt}$，並忽略區間中取樣值皆為零的最小和最大頻率），而這情況同時也是離散傅立葉變換的特例之一[19]。

${\displaystyle x={\textbf {A}}^{\mathrm {T} }\phi }$     （離散傅立葉變換中${\displaystyle N}$個等距取樣點和頻率乘上某比例常數的情況）

隆布所提出上述的簡化式可用於大多數的情況，因為一般而言不同弦波彼此之間的相關係數較小（至少當它們的間距夠大時），惟同一頻率下成對的正弦和餘弦波彼此間並非獨立而不適用。本質上，這和傳統週期圖法的公式無異，但可用於非等距取樣的訊號。其中，${\displaystyle x}$向量可為訊號的潛在頻譜做有效的估計，但由於基底之間的相關性被忽略，${\displaystyle {\textbf {A}}x}$便不再能夠良好地近似原始的訊號，這個方法也因此不再是真正的「最小平方法」，惟學界仍繼續如是稱之。

在標準的週期圖法公式中，一般是直接計算訊號與正弦或餘弦波之間的內積。史卡構則對其稍作修改：首先，先找到一時間延遲項${\displaystyle \tau }$使得成對的正弦與餘弦波在取樣時間為${\displaystyle t_{j}}$時將會彼此正交；同時，他也對可能具有不同能量的兩個基底之間做了標準化，以取得在某頻率下更加準確的能量估計值[3][9]。這些修改使得史卡構的週期圖法和隆布的最小平方法即完全相同。時間延遲項${\displaystyle \tau }$的定義如下：

${\displaystyle \tan {2\omega \tau }={\frac {\sum _{j}\sin 2\omega t_{j}}{\sum _{j}\cos 2\omega t_{j}}}}$

頻率${\displaystyle \omega }$的週期圖則可估算如下：

${\displaystyle P_{x}(\omega )={\frac {1}{2}}\left({\frac {\left[\sum _{j}X_{j}\cos \omega (t_{j}-\tau )\right]^{2}}{\sum _{j}\cos ^{2}\omega (t_{j}-\tau )}}+{\frac {\left[\sum _{j}X_{j}\sin \omega (t_{j}-\tau )\right]^{2}}{\sum _{j}\sin ^{2}\omega (t_{j}-\tau )}}\right)}$

史卡構並表示，上式所得的週期圖與等距取樣情況下的結果具有相同的統計分布[9]。

在任一單獨的頻率${\displaystyle \omega }$下，這個方法求得的頻譜能量與最小平方法使用該頻率之弦波擬合後所得的能量相同。擬合後函數的形式如下：

${\displaystyle \phi (t)=A\sin \omega t+B\cos \omega t}$[20]

標準的隆布—史卡構週期圖法適用於平均值為零的模型（即擬合用弦波的集合），因此一般而言在計算週期圖之前會先減去訊號的平均值並假設其為零。然而，當模型的平均值為非零時，這項假設並不準確。一般化的隆布—史卡構週期圖法便將此假設移除，並在計算頻譜時一併求得其平均值。如此一來，擬合後函數的形式如下：

${\displaystyle \phi (t)=A\sin \omega t+B\cos \omega t+C}$[21]

此一般化的隆布—史卡構週期圖法也被稱為「浮動平均週期圖法」[22]。

科恩伯格於1989年提出了如下的方法：先從一過完備的函數集合中選出一稀疏子集（以頻譜分析而言即指弦波）用於擬合，稱為快速正交搜尋法（fast orthogonal search）。數學上，快速正交搜尋是在縮小均方误差（MSER）時使用了一種略為修改過的楚列斯基分解法，並以稀疏矩阵之求逆方法實作[16][23]。快速正交搜尋如同其它的最小平方頻譜分析法，也能夠避免離散傅立葉變換最主要的缺點，並且可以求得高準確度的潛在週期性，同時對於處理非等距取樣訊號也相當有效。快速正交搜尋法同時也被應用於非線性系統鑑別（nonlinear system identification）等其它的問題。

陳與多諾霍提出的基底追蹤法（basis pursuit）也是從一過完備的函數集合中選出一稀疏子集（其中可包含弦波或其它函數）用於擬合，惟此法定義能夠使各項係數的L₁-距離得到最小化者即為最佳解。如此一來，頻譜分析便可藉此轉化為已知的線性規劃問題，並可利用現有的快速演算法得到解答[17]。

大衛·帕爾默（David Palmer）提出的卡方法則能夠找到任意數量之諧波的最佳擬合函數，提高了尋找非弦波諧和函數的自由度[24]。這是一項基於快速傅立葉變換、對取樣間距任意且標準誤差不均的訊號進行加權最小平方分析的快速演算法。實作此方法的原始碼也已被公開[25]。由於離散訊號往往不具有相等的取樣間距，此方法先將訊號「柵格化」，即稀疏地在數個取樣點間填入一串時間序列。所有時間軸上互相交會的柵格點之統計權重都將被設為零，亦即取樣點之間的誤差線為無窮大。