有界变差

設 ${\displaystyle \Delta f(x_{i})=f(x_{i})-f(x_{i-1})}$，若一個定義於實數區間 ${\displaystyle [a,b]}$ 上的函數${\displaystyle f}$ 是有界變差函數，則存在一正數 ${\displaystyle M}$，對任意在區間 ${\displaystyle [a,b]}$上的（有限）分割${\displaystyle P=\{a=x_{0},x_{1},.....,x_{n}=b\}}$ 而言，有 ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}|\Delta f(x_{i})|\leq M}$。

另一個等價的定義為：定義一個跟函數 ${\displaystyle f:[a,b]\mapsto \mathbb {R} }$ 相關的量如下：

${\displaystyle V_{a}^{b}(f)=\sup _{}\left\{\;\sum _{i=0}^{n_{P}-1}|f(x_{i+1})-f(x_{i})|\,:\,P\in {\mathcal {P}}\right\},\;}$

這裡的符號 ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ 代表在閉區間 [a, b] 上所有的（有限）分割。

${\displaystyle f}$為有界變差函數若且唯若 ${\displaystyle V_{a}^{b}(f)<\infty }$。

其定義可推廣至複數域乃至於任何的歐幾里德空間上。

• 任意單調函數都是有界變差的。
• 设${\displaystyle f}$在區間${\displaystyle [a,b]}$上滿足Lipschitz條件，即存在常數${\displaystyle K>0}$，使得對於任意${\displaystyle x',x''}$，有${\displaystyle |f(x')-f(x'')|\leq K|x'-x''|}$，則${\displaystyle f}$在${\displaystyle [a,b]}$上是有界變差的。
• 若${\displaystyle f}$在區間${\displaystyle [a,b]}$上連續，且在區間的內部${\displaystyle (a,b)}$可微，若對於任意在${\displaystyle f}$定義域${\displaystyle [a,b]}$的內部${\displaystyle (a,b)}$的點${\displaystyle x}$而言，存在一正實數${\displaystyle A}$使得${\displaystyle |f'(x)|\leq A}$，則${\displaystyle f}$在${\displaystyle [a,b]}$上是有界變差的。
• 若${\displaystyle f}$在區間${\displaystyle [a,b]}$上是有界變差的，則${\displaystyle f}$在該區間上亦是有界的。
• 若${\displaystyle f}$在區間${\displaystyle [a,b]}$上是有界變差的，則其不連續點的數量是可數的。

• 總變差

• T. M. Apostol, Mathematical Analysis, second edition.
• http://eom.springer.de/V/v096110.htm （页面存档备份，存于）