有界輸入有界輸出穩定性

針對連續時間的線性非時變（LTI）系統，BIBO穩定性的條件是脈衝響應需為絕對可積分，也就是存在L¹範數

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\left|h(t)\right|\,{\mathord {\operatorname {d} }}t}=\|h\|_{1}<\infty }$

針對離散時間的線性非時變系統，BIBO穩定性的條件是脈衝響應需為絕對可積分，也就是存在L¹範數

${\displaystyle \ \sum _{n=-\infty }^{\infty }{\left|h[n]\right|}=\|h\|_{1}<\infty }$

假設離散時間的線性非時變系統，其脈衝響應${\displaystyle \ h[n]}$和輸入${\displaystyle \ x[n]}$和輸出${\displaystyle \ y[n]}$之間會有以下的關係：

${\displaystyle \ y[n]=h[n]*x[n]}$

其中${\displaystyle *}$為卷積 則依卷積的定義：

${\displaystyle \ y[n]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{h[k]x[n-k]}}$

令${\displaystyle \|x\|_{\infty }}$為${\displaystyle \ |x[n]|}$的最大值

${\displaystyle \left|y[n]\right|=\left|\sum _{k=-\infty }^{\infty }{h[n-k]x[k]}\right|}$

${\displaystyle \leq \sum _{k=-\infty }^{\infty }{\left|h[n-k]\right|\left|x[k]\right|}}$（根據三角不等式）

${\displaystyle \leq \sum _{k=-\infty }^{\infty }{\left|h[n-k]\right|\|x\|_{\infty }}}$

${\displaystyle =\|x\|_{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\left|h[n-k]\right|}}$

${\displaystyle =\|x\|_{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\left|h[k]\right|}}$

若${\displaystyle h[n]}$是絕對可求和，則${\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }{\left|h[k]\right|}=\|h\|_{1}<\infty }$且

${\displaystyle \|x\|_{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\left|h[k]\right|}=\|x\|_{\infty }\|h\|_{1}}$

因此若${\displaystyle h[n]}$是絕對可求和，且${\displaystyle \left|x[n]\right|}$有界，則因為${\displaystyle \|x\|_{\infty }\|h\|_{1}<\infty }$，${\displaystyle \left|y[n]\right|}$也會有界。

連續時間的情形也可以依類似的方式證明。

對於一個有理的連續時間系統，穩定性的條件是拉普拉斯轉換的收斂區域包括複數平面的虛軸。若系統為因果系統，其收斂區域為「最大極點」（實部為最大值的極點）實部垂直線往右的開集，定義收斂區域的極點實部稱為收斂橫坐標。因此，若要有BIBO穩定性，系統的所有極點都需在S平面的嚴格左半平面（不能在虛軸上）。

可以將時域分析下的穩定性條件擴展到頻域下：

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\left|h(t)\right|\,\operatorname {d} t}}$

${\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }{\left|h(t)\right|\left|e^{-j\omega t}\right|dt}}$

${\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }{\left|h(t)(1\cdot e)^{-j\omega t}\right|dt}}$

${\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }{\left|h(t)(e^{\sigma +j\omega })^{-t}\right|dt}}$

${\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }{\left|h(t)e^{-st}\right|dt}}$

其中${\displaystyle s=\sigma +j\omega }$，且${\displaystyle {\mbox{Re}}(s)=\sigma =0}$.

因此收斂區域必須包括虛軸。

對於一個有理的離散時間系統，穩定性的條件是Z轉換的收斂區域包括單位圓。若系統為因果系統，其收斂區域為極點絕對值中最大值為半徑的圓周以外的開集，因此，若要有BIBO穩定性，系統的所有極點都需在Z平面的單位圓內（不能在單位圓上）。

可以用類似的方式推導穩定性準則：

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }{\left|h[n]\right|}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\left|h[n]\right|\left|e^{-j\omega n}\right|}}$

${\displaystyle =\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\left|h[n](1\cdot e)^{-j\omega n}\right|}}$

${\displaystyle =\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\left|h[n](re^{j\omega })^{-n}\right|}}$

${\displaystyle =\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\left|h[n]z^{-n}\right|}}$

其中${\displaystyle z=re^{j\omega }}$，且${\displaystyle r=|z|=1}$

因此收斂區域必須包括單位圓。