有限生成

在抽象代數中，有限生成意謂一個代數結構中存在有限多個元素 ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$，使得每個元素都能由這些元素的代數運算生成；或者形式地說，謂該結構能表成有限個生成元的自由對象的商（在適當的範疇內）。這類對象有時也稱為有限型的。

以下是常見的特例：

• 有限生成群：若群 ${\displaystyle G}$ 中存在一個有限子集 ${\displaystyle S}$，使得 ${\displaystyle G}$ 中的任一元素都能以 ${\displaystyle S}$ 的元素及其逆元的連乘積表示，則稱 ${\displaystyle G}$ 為有限生成群。
• 有限生成阿贝尔群
• 有限生成模：設 ${\displaystyle R}$ 為環，若左 ${\displaystyle R}$-模 ${\displaystyle M}$ 中存在有限多個元素 ${\displaystyle m_{1},\ldots ,m_{n}}$，使得 ${\displaystyle M=Rm_{1}+\cdots +Rm_{n}}$，則稱 ${\displaystyle M}$ 為有限生成模；對右 ${\displaystyle R}$-模的定義類此。有限維向量空間是其特例。
• 有限生成代數：設 ${\displaystyle R}$ 為交換環，若 ${\displaystyle R}$-代數 ${\displaystyle A}$ 中存在有限多個元素 ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$，使得每個 ${\displaystyle A}$ 的元素都能表成多項式 ${\displaystyle f(a_{1},\ldots ,a_{n})}$，其中 ${\displaystyle f\in R[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$。