朗蘭茲綱領

我们可以二次互反律之推廣阿廷互反律為朗蘭茲綱領之起點： 給定一個Q上的、伽羅瓦群為可交換群的數域，阿廷互反律向這個伽羅瓦群的任何一支一維表示配上一枚L函數，並斷言：此等L-函數俱等於某些 狄利克雷L函數（黎曼ζ函數的類推，由狄利克雷特徵表達）。此二種L-函數之間的準確的聯繫構成了阿廷互反律。

若給定不可交換伽羅瓦群及其高維表示，我们仍可定義一些自然的相配的L-函數——阿廷L函數。

朗蘭茲洞察到：當找到適當的狄利克雷L-函數的推廣，便有可能推廣阿廷互反律。

赫克（Erich Hecke）曾聯繫全純自守形式（定義於上半複平面上、滿足某些函數方程的全純函數）與狄利克雷L函數。朗蘭茲推廣赫克理論，以應用於自守尖點表示（自守尖點表示是Q-阿代爾環上一般線性群 GL_n 的某類無限維不可約表示）。

朗蘭茲為這些自守表示配上L-函數，然後猜想：

互反猜想. 每一來自給定數域的伽羅瓦群的有限維表示的阿廷 L-函數，都相等於某一來自自守尖點表示的L-函數。

若要建立一一對應，須考慮較伽羅瓦群的適當擴張，稱作韋依-德利涅群。在可交換的例子，這相當於將狄利克雷特徵推廣為赫克特徵（德文舊稱 Größencharakter）。互反猜想蘊含阿廷猜想。

朗蘭茲再進一步推廣：

• 以任何連通约化群 G 代替上文中的一般線性群 GL_n；
• 構築複李群 ^LG（所謂朗蘭茲對偶群，或L群）；
• 以自守表示的L包代替自守表示；每個L包是自守表示組成的有限集，屬同一L包的表示稱作L不可辨的。
• 向每一個 G的自守尖點表示和每一個 ^LG的有限維表示，配與一個L-函數；同一L包中的表示有相同的 L-函數及 ${\displaystyle \epsilon }$-因子。朗蘭茲並猜想 （页面存档备份，存于）：此兩個 L-函數滿足某函數方程。

朗蘭茲更構想了一道非常廣泛的函子性原則（Functoriality Principle （页面存档备份，存于））：

函子性猜想. 若指定二约化群，並指定其相應的L群之間的可容許同態，則二约化群的自守表示之間應該有某種與其 L-函數相容之關係。

函子性猜想蘊含廣義拉馬努金猜想。

函子性構想本質上是一種誘導表示構造（在传统的自守形式理论中称为提升，在某些特殊情况下已知），因而是協變的（相反地，受限表示構造是逆變的）。各種直接構造的嘗試只產生了一些條件性的结果。

上述各猜想亦有其他域上的版本：數域（最早期的版本）、局部域及函數域（即F_p(t)的有限擴張； 其中p 是一 素數 ， F_p(t) 是 p 元有限域上的有理函數域）。局部域的與數域的朗蘭茲綱領滿足一些相容性，二者之方法亦互為用。

朗蘭茲綱領建基於當時已存在的念頭：盖尔范德之前幾年寫的 《尖點形式之啟示》（The Philosophy of Cusp Forms）；哈瑞希·昌得拉（）研究 半單李群 的結果和方法；而技術上則有塞爾伯格等的塞爾伯格迹公式。

朗蘭茲的創見，除技術之深以外，在於他提出上述理論與數論的直接聯係，以及其構想中豐富的總體結構（即所謂函子性者也）。

例如在哈瑞希·昌得拉的工作中，我们可見以下原則：

「任何對某一半單（或约化）李群可能做的，應對所有都做。」

故一旦認清一些低維李群 —如 GL₂ —在模形式理論之角色，並反觀 GL₁ 在類域論之角色，我们至少可推測一般 GL_n 的情況。

尖點形式之念頭來自模曲線上的尖點，在譜理論上對應於離散譜；對比之下連續譜則來自艾森斯坦級數。但當給定的李群越大，則拋物子群越多，技術上則越複雜。

在此等研究途徑中不乏各種技巧——通常基於列維分解等事實、具誘導表示的性質 ——但這領域一直都很困難。

在模形式方面，亦有例如希爾伯特模形式、 西格爾模形式 和 theta-級數等等面向。

內窺（英語：）意謂「在一般共軛中窺見穩定共軛」；共軛意謂群的共軛作用 ${\displaystyle x\mapsto gxg^{-1}}$；穩定共軛則意謂可取 ${\displaystyle g\in G({\bar {F}})}$；穩定共軛類可分解為有限個一般共軛類。穩定共軛與一般共軛之別造成上述的L-不可辨性。

亞瑟-塞爾伯格跡公式是處理函子性猜想及志村簇的哈瑟-韋伊ζ函數之利器。在技術上，我们需要一穩定跡公式，穩定化有賴於將 ${\displaystyle G}$ 之一般軌道積分表成內窺群上的穩定軌道積分。內窺理論旨在配對群及其內窺群的軌道積分，稱作內窺傳遞；其關鍵則是所謂的基本引理。

內窺傳遞不僅是工具，也涵攝函子性猜想的一些特例。

數域上的朗蘭茲綱領可以翻譯到幾何的框架，大略步驟如下：

1. 以緊黎曼曲面 ${\displaystyle C}$ 的亞純函數域取代數域
2. 以基本群取代伽羅瓦群
3. 以局部系統取代伽羅瓦表示
4. 以秩 n 向量叢的模空間 ${\displaystyle \mathrm {Bun} _{n/C}}$ 取代 ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {Q} )\backslash \mathrm {GL} (n,\mathbb {A} _{\mathbb {Q} })/K}$
5. 以反常層取代自守形式
6. 以赫克本徵層取代赫克本徵形式

部份朗蘭茲綱領的項目已經完成。

• GL_n 關於局部域的部份：由Michael Harris 和 Richard Taylor 合作完成[3]；Henniart[4]亦導出了一較簡短的證明。
• 關於 GL_n 關於函數域上的部份：1999年洛朗·拉福格證明之 Archive.is的存檔，存档日期2012-12-05。

洛朗·拉福格憑其在函數域上的工作獲得2002年菲爾茲獎。拉福格的工作延續了較早期的德林費爾德得菲爾茲獎（1990）的研究。數域方面只有一些特例被證明了，有些是朗蘭茲自己完成的。皮特·舒尔策也因在「動機理論」和朗蘭茲綱領這兩個代數幾何學的大方向上有傑出貢獻而於2018年獲得菲爾茲獎。

• Corvallis Proceedings (1979) （页面存档备份，存于） A.Borel, W. Casselman（編輯）, AMS, ISBN 0-8218-3371-2（網上書，免費）
• Stephen Gelbart: An Elementary Introduction to the Langlands Program, Bulletin of the AMS v.10 no. 2 April 1984.
• J. Arthur （页面存档备份，存于）：The Principle of Functoriality; pp.39-53, No. 1, Volume 40, Bulletin of the AMS; October, 2002.
• Edward Frenkel: Lectures on the Langlands Program and Conformal Field Theory, hep-th/0512172 （页面存档备份，存于）
• J. Bernstein, S. Gelbart, An Introduction to the Langlands Program, ISBN 3764332115
• Summer School, Toronto,June 2003 （页面存档备份，存于）-- Audio and notes
• Conference, Princeton, 2005 -- Video
• Michèle Vergne, All what I wanted to know about Langlands program and was afraid to ask （页面存档备份，存于），2006.

1. . sunsite.ubc.ca. [2021-09-22]. （原始内容存档于2021-02-24）.
2. . Quanta. December 8, 2015 [2019-05-31]. （原始内容存档于2021-01-22）.
3. . web.archive.org. 2006-09-01 [2021-09-22]. 原始内容存档于2006-09-01.
4. http://www.springerlink.com/content/h5yfh3x99xr5hgm1/