李亚普诺夫指数

在数学领域中，李亚普诺夫指数（）或李亚普诺夫特征指数（）用于量化动力系统中无限接近的轨迹之间的分离率。具体而言，相空间中初始间隔 $\delta \mathbf {Z} _{0}$ 的两条轨迹的分离率为（假定分离可按线性近似来处理）

|\delta \mathbf {Z} (t)|\approx e^{\lambda t}|\delta \mathbf {Z} _{0}|\,

其中 $\lambda$ 即为李亚普诺夫指数。

当初始分离向量的方向不同时，其分离率也不同。因而存在李亚普诺夫指数谱（），其数量与相空间的维度相同。通常将其中最大的称为最大李亚普诺夫指数（，简称），因为它决定了动力系统的可预测性。正的通常表明系统是混沌的（假定其他条件满足，如相空间的紧致性）。需要注意的是，任意初始分离向量一般包括了所在方向的部分分量，由于其随指数增长的特征，其他分量的效果随着时间最终会被掩盖。

李亚普诺夫指数是以俄罗斯数学家亚历山大·李亚普诺夫的名字命名的。

最大李亚普诺夫指数

最大李亚普诺夫指数定義為

\lambda =\lim _{t\to \infty }\lim _{\delta \mathbf {Z} _{0}\to 0}{\frac {1}{t}}\ln {\frac {|\delta \mathbf {Z} (t)|}{|\delta \mathbf {Z} _{0}|}}.

極限 $\delta \mathbf {Z} _{0}\to 0$ 確保任何時間線性近似的可行性[1]。

對離散時間系統（映射或迭代） $x_{n+1}=f(x_{n})$ 和以 $x_{0}$ 為起始的軌跡，上式可以轉換成

\lambda (x_{0})=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}\ln |f'(x_{i})|.

参考文献

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[cencini-1] Cencini, M.; et al. World Scientific , 编. . 2010. ISBN 978-981-4277-65-5.