李善兰恒等式为组合数学中的一个恒等式，由中国清代数学家李善兰于1859年在《垛积比类》一书中首次提出，因此得名。
有幂级数[1]和概率[2]两种证明方法。
( n + k k ) 2 = ∑ j = 0 k ( k j ) 2 ( n + 2 k − j 2 k ) {\displaystyle {\binom {n+k}{k}}^{2}=\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}^{2}{\binom {n+2k-j}{2k}}}
其中 ( k l ) = k ! l ! ( k − l ) ! {\displaystyle {\binom {k}{l}}={\frac {k!}{l!(k-l)!}}}
李善兰恒等式是薩爾舒茨定理的一个整数特例。
3 F 2 ( a , b , − n ; c , 1 + a + b − c − n ; 1 ) = ( c − a ) n ( c − b ) n ( c ) n ( c − a − b ) n . {\displaystyle {}_{3}F_{2}(a,b,-n;c,1+a+b-c-n;1)={\frac {(c-a)_{n}(c-b)_{n}}{(c)_{n}(c-a-b)_{n}}}.} [3] [4]
∑ j = 0 k ( k j ) 2 ( n + 2 k − j 2 k ) = ( n + 2 k ) ! ( 2 k ) ! n ! ∑ j = 0 ∞ ( − k ) ( j ) ( − k ) ( j ) ( − n ) ( j ) ( 1 ) ( j ) ( − n − 2 k ) ( j ) j ! = ( n + 2 k ) ! ( 2 k ) ! n ! 3 F 2 ( − k , − k , − n ; 1 , − n − 2 k ; 1 ) {\displaystyle \sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}^{2}{\binom {n+2k-j}{2k}}={\frac {(n+2k)!}{(2k)!n!}}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(-k)^{(j)}(-k)^{(j)}(-n)^{(j)}}{(1)^{(j)}(-n-2k)^{(j)}j!}}={\frac {(n+2k)!}{(2k)!n!}}{}_{3}F_{2}(-k,-k,-n;1,-n-2k;1)}
= ( n + 2 k ) ! ( 1 + k ) n ( 1 + k ) n ( 2 k ) ! n ! ( 1 ) n ( 1 + 2 k ) n = ( n + 2 k ) ! ( n + k ) ! ( n + k ) ! ( 2 k ) ! ( 2 k ) ! n ! k ! k ! n ! ( n + 2 k ) ! = ( n + k k ) 2 {\displaystyle ={\frac {(n+2k)!(1+k)_{n}(1+k)_{n}}{(2k)!n!(1)_{n}(1+2k)_{n}}}={\frac {(n+2k)!(n+k)!(n+k)!(2k)!}{(2k)!n!k!k!n!(n+2k)!}}={\binom {n+k}{k}}^{2}}
