条件概率分布

对于离散型的随机变量X 和Y（取值范围分别是${\displaystyle {\mathcal {I}}}$和${\displaystyle {\mathcal {J}}}$），随机变量Y 在条件{X =x}下的条件概率分布是：

${\displaystyle \forall j\in {\mathcal {J}},\quad p_{Y\mid X}(j)=p_{Y}(j\mid X=i)=P(Y=j\mid X=i)={\frac {P(X=i,Y=j)}{P(X=i)}}.}$ （${\displaystyle P(X=i)>0}$）

同样的，X 在条件{Y=y}下的条件概率分布是：

${\displaystyle \forall i\in {\mathcal {I}},\quad p_{X\mid Y}(i)=p_{X}(i\mid Y=j)=P(X=i\mid Y=j)={\frac {P(X=i,Y=j)}{P(Y=j)}}.}$ （${\displaystyle P(Y=j)>0}$）

其中，${\displaystyle P(X=i,Y=j)}$是X 和Y 联合分布概率，即“${\displaystyle X=i}$，并且${\displaystyle Y=j}$发生的概率”。如果用${\displaystyle p_{ij}}$表示${\displaystyle P(X=i,Y=j)}$的值： ${\displaystyle P(X=i,Y=j)=p_{ij}}$ 那么随机变量X 和Y 的边际分布就是：

${\displaystyle P(X=i)=p_{i.}=\sum _{j\in {\mathcal {J}}}p_{ij}}$

${\displaystyle P(Y=j)=p_{.j}=\sum _{i\in {\mathcal {I}}}p_{ij}}$

因此， 随机变量Y 在条件{X =x}下的条件概率分布也可以表达为：

${\displaystyle p_{Y\mid X}(j)=P(Y=j\mid X=i)={\frac {p_{ij}}{p_{i.}}}.}$（${\displaystyle p_{i.}>0}$）

同样的，X 在条件{Y=y}下的条件概率分布也可以表达为：

${\displaystyle p_{X\mid Y}(i)={\frac {p_{ij}}{p_{.j}}}.}$（${\displaystyle p_{.j}>0}$）

对于连续型的随机变量X 和Y，${\displaystyle P(X=i)=P(Y=j)=0}$，因此对离散型随机变量的条件分布定义不适用。假设其联合密度函数为${\displaystyle f(x,y)}$，X 和Y 的边际密度函数分别是${\displaystyle f_{X}(x)}$和${\displaystyle f_{Y}(y)}$，那么Y 在条件{X =x}下的条件概率密度函数是：

${\displaystyle f_{Y|X}(y|x)=f_{Y}(y\mid X=x)={\frac {f(x,y)}{f_{X}(x)}}.}$

同样的，X 在条件{Y=y}下的条件概率密度函数是：

${\displaystyle f_{X|Y}(x|y)=f_{X}(x\mid Y=y)={\frac {f(x,y)}{f_{Y}(y)}}.}$