条件熵

如果 ${\displaystyle \mathrm {H} (Y|X=x)}$ 爲變數 ${\displaystyle Y}$ 在變數 ${\displaystyle X}$ 取特定值 ${\displaystyle x}$ 條件下的熵，那麼 ${\displaystyle \mathrm {H} (Y|X)}$ 就是 ${\displaystyle \mathrm {H} (Y|X=x)}$ 在 ${\displaystyle X}$ 取遍所有可能的 ${\displaystyle x}$ 後取平均的結果。

给定随机变量 ${\displaystyle X}$ 与 ${\displaystyle Y}$，定義域分別爲 ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ 與 ${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$，在給定 ${\displaystyle X}$ 條件下 ${\displaystyle Y}$ 的條件熵定義爲：[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {H} (Y|X)\ &\equiv \sum _{x\in {\mathcal {X}}}\,p(x)\,\mathrm {H} (Y|X=x)\\&=-\sum _{x\in {\mathcal {X}}}p(x)\sum _{y\in {\mathcal {Y}}}\,p(y|x)\,\log \,p(y|x)\\&=-\sum _{x\in {\mathcal {X}}}\sum _{y\in {\mathcal {Y}}}\,p(x,y)\,\log \,p(y|x)\\&=-\sum _{x\in {\mathcal {X}},y\in {\mathcal {Y}}}p(x,y)\log \,p(y|x)\\&=-\sum _{x\in {\mathcal {X}},y\in {\mathcal {Y}}}p(x,y)\log {\frac {p(x,y)}{p(x)}}.\\&=\sum _{x\in {\mathcal {X}},y\in {\mathcal {Y}}}p(x,y)\log {\frac {p(x)}{p(x,y)}}.\\\end{aligned}}}$

注意： 可以理解，對於確定的 c>0，表達式 0 log 0 和 0 log (c/0) 應被認作等於零。

當且僅當 ${\displaystyle Y}$ 的值完全由 ${\displaystyle X}$ 確定時，${\displaystyle \mathrm {H} (Y|X)=0}$。相反，當且僅當 ${\displaystyle Y}$ 和 ${\displaystyle X}$ 爲獨立隨機變數時${\displaystyle \mathrm {H} (Y|X)=\mathrm {H} (Y)}$。

假設兩個隨機變數 X 和 Y 確定的組合系統的聯合熵爲 ${\displaystyle \mathrm {H} (X,Y)}$，即我們需要 ${\displaystyle \mathrm {H} (X,Y)}$ bit的信息來描述它的確切狀態。 現在，若我們先學習 ${\displaystyle X}$ 的值，我們得到了 ${\displaystyle \mathrm {H} (X)}$ bits的信息。 一旦知道了 ${\displaystyle X}$，我們只需 ${\displaystyle \mathrm {H} (X,Y)-\mathrm {H} (X)}$ bits來描述整個系統的狀態。 這個量正是 ${\displaystyle \mathrm {H} (Y|X)}$，它給出了條件熵的链式法则：

${\displaystyle \mathrm {H} (Y|X)\,=\,\mathrm {H} (X,Y)-\mathrm {H} (X)\,.}$

链式法则接著上面條件熵的定義：

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {H} (Y|X)&=\sum _{x\in {\mathcal {X}},y\in {\mathcal {Y}}}p(x,y)\log {\frac {p(x)}{p(x,y)}}\\&=-\sum _{x\in {\mathcal {X}},y\in {\mathcal {Y}}}p(x,y)\log \,p(x,y)+\sum _{x\in {\mathcal {X}},y\in {\mathcal {Y}}}p(x,y)\log \,p(x)\\&=\mathrm {H} (X,Y)+\sum _{x\in {\mathcal {X}}}p(x)\log \,p(x)\\&=\mathrm {H} (X,Y)-\mathrm {H} (X).\end{aligned}}}$

條件熵的貝葉斯規則表述爲

${\displaystyle H(Y|X)\,=\,H(X|Y)-H(X)+H(Y)\,.}$

證明. ${\displaystyle H(Y|X)=H(X,Y)-H(X)}$ and ${\displaystyle H(X|Y)=H(Y,X)-H(Y)}$。對稱性意味著 ${\displaystyle H(X,Y)=H(Y,X)}$。將兩式相減即爲貝葉斯規則。

在量子信息论中，条件熵都概括为量子条件熵。