演绎定理

演绎定理通常被視為元定理，也就是以元語言來描述的符號組合規則（也就是推理规则，如肯定前件）為基礎，配上邏輯公理（被認為＂永遠為真＂的一套合式公式）為前提去證明的某種規則，通常都有以下的形式：（以下${\displaystyle {\mathcal {A}}_{1},\,\cdots ,\,{\mathcal {A}}_{n}}$ 、 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ 為任意合式公式）

「若根據前提 ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{1},\,\cdots ,\,{\mathcal {A}}_{n}}$ 和公理與推理规则，可以推出 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ，那對任意 ${\displaystyle 1\leq {\mathcal {i}}\leq n}$ 也可以推出 ${\displaystyle {\mathcal {A_{i}}}\Rightarrow {\mathcal {B}}}$」

視為元定理的例子請參見一阶逻辑條目的演繹元定理。

但在某些逻辑系统中，演绎定理被定為基礎的推理规则。這種系統跟視為元定理的系統比較起來，推理的效力是等同的，所以在此並不贅述。

证明 ((P→(Q→P))→R)→R:

• • (P→(Q→P))→R 1. 假设
  • P→(Q→P) 2. 公理 1
  • R 3. 肯定前件 2,1
• ((P→(Q→P))→R)→R 4. 演绎自 1 到 3 QED

在公理化版本的命题逻辑中，通常有着公理模式和推理规则(这里的 P、Q 和 H 可以被替换为任何命题)：

• 公理 1：P→(H→P)
• 公理 2：(H→(P→Q))→((H→P)→(H→Q))
• 推理规则肯定前件：从 P 和 P→Q 推出 Q

从这些公理和推理规则你可以快速的演绎出定理模式 P→P (参见命题演算)。选择这些公理模式使你能够容易的从它们推导出演绎定理。可以通过使用真值表验证来证实它们为重言式，而肯定前件保持真理。

假如我们有了 Γ 与 H 证明 C，并且我们希望证实 Γ 证明 H→C。对于在演绎中的每个步骤 S:

• 如果这个步骤是在 Γ 中的前提(重复步骤)或一个公理，我们可以应用肯定前件于公理 1：S→(H→S)，来得到 H→S。
• 如果这个步骤是 H 自身(假设步骤)，我们应用这个定理模式来得到 H→H。
• 如果这个步骤是应用肯定前件于 A 和 A→S 的结果，我们首先确保它们已经被转换成 H→A 和 H→(A→S)，并接着采用公理 2：(H→(A→S))→((H→A)→(H→S))，并应用肯定前件来得到 (H→A)→(H→S)，并接着再次应用来得到 H→S。

在这个证明的结束处我们有了所需要的 H→C，除了它现在只依赖于 Γ 而不再依赖于 H 之外。所以这个演绎步骤将消失，合并到是从 H 推导出的结论的前面步骤中。

为了最小化结果证明的复杂性，在转换之前要进行某些预处理。实际上不依赖于 H 的任何步骤(除了结论)都应当被移动到假设步骤之前并去缩进一个层次。并且任何其他不必要步骤(不用来得到结论或可以被绕过的)，比如不是结论的重复应当除去。

在转换期间，在演绎开始处(紧接着 H→H 步骤之后)放置所有的对公理 1 的肯定前件应用可能是有用的。

在转换肯定前件的时候，如果 A 在 H 的范围之外，则必须应用公理 1：A→(H→A)，和肯定前件来得到 H→A。类似的，如果 A→S 在 H 的范围之外，应用公理 1：(A→S)→(H→(A→S)) 和肯定前件来得到 H→(A→S)。做这二者不是必须的，除非肯定前件步骤是结论，因为二者都在这个范围之外，那么肯定前件应当已经被移动到 H 之前并且因此也在这个范围之外。

在Curry-Howard同构下，上述对演绎元定理的转换过程类似于从lambda 演算项到组合子逻辑项的转换过程，这里的公理 1 对应于 K 组合子，而公理 2 对应于 S 组合子。注意 I 组合子对应于定理模式 P→P。

要展示如何把自然演绎转换成公理化形式的证明，我们应用它于重言式 Q→((Q→R)→R)。实际上，知道可以这么做通常就足够了。我们通常使用自然演绎形式来替代更长的公理化证明。

首先，我们写使用自然演绎的证明:

• • Q 1. 假设
    • Q→R 2. 假设
    • R 3. 肯定前件 1,2
  • (Q→R)→R 4. 演绎自 2 到 3
• Q→((Q→R)→R) 5. 演绎自 1 到 4 QED

其次，我们转换内层的演绎为公理化证明:

• (Q→R)→(Q→R) 1. 定理模式 (A→A)
• ((Q→R)→(Q→R))→(((Q→R)→Q)→((Q→R)→R)) 2. 公理 2
• ((Q→R)→Q)→((Q→R)→R) 3. 肯定前件 1,2
• Q→((Q→R)→Q) 4. 公理 1
  • Q 5. 假设
  • (Q→R)→Q 6. 肯定前件 5,4
  • (Q→R)→R 7. 肯定前件 6,3
• Q→((Q→R)→R) 8. 演绎自 5 到 7 QED

第三，我们转换外层的演绎为公理化证明:

• (Q→R)→(Q→R) 1. 定理模式 (A→A)
• ((Q→R)→(Q→R))→(((Q→R)→Q)→((Q→R)→R)) 2. 公理 2
• ((Q→R)→Q)→((Q→R)→R) 3. 肯定前件 1,2
• Q→((Q→R)→Q) 4. 公理 1
• [((Q→R)→Q)→((Q→R)→R)]→[Q→(((Q→R)→Q)→((Q→R)→R))] 5. 公理 1
• Q→(((Q→R)→Q)→((Q→R)→R)) 6. 肯定前件 3,5
• [Q→(((Q→R)→Q)→((Q→R)→R))]→([Q→((Q→R)→Q)]→[Q→((Q→R)→R))]) 7. 公理 2
• [Q→((Q→R)→Q)]→[Q→((Q→R)→R))] 8. 肯定前件 6,7
• Q→((Q→R)→R)) 9. 肯定前件 4,8 QED

这三个步骤可以简洁的使用Curry-Howard同构表述为:

• 首先，在 lambda 演算中，函数 f = λa. λb. b a 有类型 q → (q → r) → r
• 其次，通过在 b 上的 lambda 除去，f = λa. s i (k a)
• 第三，通过在 a 上的 lambda 除去，f = s (k (s i)) k

• 皮尔士定律
• 演绎推理
• 自然演绎
• 相继式演算
• 希尔伯特演绎系统
• 蕴涵命题演算

• Introduction to Mathematical Logic by Vilnis Detlovs and Karlis Podnieks （页面存档备份，存于） Podnieks is a comprehensive tutorial. See Section 1.5.

• 元数学证明探索者主页 （页面存档备份，存于）