极限集合

设 ${\displaystyle X}$ 为一个度量空间，并令 ${\displaystyle f:X\rightarrow X}$ 为一个连续函数。集合 ${\displaystyle X}$ 中元素 ${\displaystyle x\in X}$ 关于 ${\displaystyle f}$ 的${\displaystyle \omega }$-极限集合是其经过函数 ${\displaystyle f}$ 迭代后得到的序列 ${\displaystyle \{f^{n}(x)\}_{n\in \mathbb {N} }}$ 的所有极限点的集合，记作 ${\displaystyle \omega (x,f)}$。依此定义，某元素${\displaystyle y\in \omega (x,f)}$当且仅当存在严格递增的自然数列 ${\displaystyle \{n_{k}\}_{k\in \mathbb {N} }}$ 使得 当 ${\displaystyle k\rightarrow \infty }$ 的时候 ${\displaystyle f^{n_{k}}(x)\rightarrow y}$。用纯数学语言也可以表示为：

${\displaystyle \omega (x,f)=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }{\overline {\{f^{k}(x):k>n\}}}}$。

极限集合内的点称为回归点.

如果 ${\displaystyle f}$ 是一个同胚映射（即一个本身和其反函数都连续的函数），那么还可以定义 集合 ${\displaystyle X}$ 中元素 ${\displaystyle x\in X}$ 关于 ${\displaystyle f}$ 的${\displaystyle \alpha }$-极限集合：${\displaystyle \alpha (x,f)=\omega (x,f^{-1})}$，这是将 ${\displaystyle x}$ 关于 ${\displaystyle f}$ 做反向迭代后得到的序列的极限点集合。

以上定义的两个集合都对函数 ${\displaystyle f}$ 保持不变，并且如果集合 ${\displaystyle X}$ 是紧集的话，那么它们也是非空的紧集。

给定一个实数值动力系统 ${\displaystyle (T,X,\varphi )}$，其中${\displaystyle T}$为时间，

${\displaystyle x(t)=X(t,x(t))\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)}$

为描述方程，${\displaystyle \varphi$ :(t_{0},t,x_{0})\rightarrow \phi _{t_{0}}^{t}(x_{0})} 是以点${\displaystyle x_{0}}$初始值的解（由${\displaystyle (1)}$ 和 ${\displaystyle x_{0}}$所确定的流）。

一个点 y 被称为 ${\displaystyle x_{0}}$ （关于动力系统）的ω-极限点，如果存在实数序列 ${\displaystyle (t_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ 使得：

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }t_{n}=\infty }$，并且

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\varphi (t_{0},t_{n},x)=y}$。

${\displaystyle x_{0}}$ （关于动力系统）的ω-极限集合是所有${\displaystyle x_{0}}$ 的ω-极限点的集合，记为${\displaystyle L_{\omega }(x_{0})}$。

类似地，称 y 为 ${\displaystyle x_{0}}$ （关于动力系统）的α-极限点，存在实数序列 ${\displaystyle (t_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ 使得：

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }t_{n}=-\infty }$，且

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\varphi (t_{0},t_{n},x)=y}$。

${\displaystyle x_{0}}$ （关于动力系统）的α-极限集合是所有${\displaystyle x_{0}}$ 的α-极限点的集合，记为${\displaystyle L_{\alpha }(x_{0})}$。

对于一个非空集合 ${\displaystyle Z}$，类似地定义 ${\displaystyle Z}$ 的ω-极限集合是 ${\displaystyle Z}$ 里的所有元素的极限集合之并集，记为${\displaystyle L_{\omega }(Z)}$。

${\displaystyle L_{\omega }(Z)=\bigcup _{z\in Z}L_{\omega }(z)}$。

同样可以定义 ${\displaystyle Z}$ 的α-极限集合：

${\displaystyle L_{\alpha }(Z)=\bigcup _{z\in Z}L_{\alpha }(z)}$。

如果某点的ω-极限集合跟以此点为初始值的正半轨线（流）的交集为空集，则称相应的极限集合为一个ω-极限环 。同样地，如果某点α-极限集合跟以此点为初始值的负半轨线（流）的交集为空集，则称相应的极限集合为一个α-极限环。

• Julia集
• 稳定集
• 极限环
• 周期点
• 非游荡集

• Claude Viterbo, Équations différentielles et systèmes dynamiques, Les Éditions de l'École Polytechnique,2008.
• Robert Devaney, Morris W. Hirsch, Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos, Second Edition，2007
• Emmanuel Hainry，Computing omega-limit Sets in Linear Dynamical Systems.
• Fabio Celani, Omega-limit Sets of Nonlinear Systems that are Semiglobally Practically Stabilized, Washington University, St. Louis, USA