柯西序列

• 对于有绝对值作为范数的有理数空间${\displaystyle \mathbb {Q} }$，定义数列：

${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},\cdots }$满足： ${\displaystyle x_{n}={[{\sqrt {2}}n] \over n}}$

这个数列趋于 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ，但${\displaystyle {\sqrt {2}}}$不属于${\displaystyle \mathbb {Q} }$，因此这个数列不收敛。

• 对于所有多项式组成的空间，定义每个多项式的范数是其系数绝对值的最大值，两个多项式之间的距离则是它们的差的范数。考虑多项式列：:${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},\cdots }$满足： ${\displaystyle x_{n}=\sum _{k=1}^{n}{x^{k} \over k}}$。这个多项式列中，对任意 ${\displaystyle m>n\in \mathbb {N} }$，${\displaystyle d(x_{m},x_{n})=||\sum _{k=n+1}^{m}{x^{k} \over k}||={1 \over n+1}}$，趋于零，因此它是一个柯西列。但这个柯西列显然不收敛，因为它的元素次数趋于无穷。

任何收敛數列必然是柯西列，任何柯西列必然是有界序列。

如果${\displaystyle f\colon M\rightarrow N}$是一个由度量空间${\displaystyle M}$到度量空间${\displaystyle N}$的一致连续的映射，并且${\displaystyle \{x_{n}\}}$是${\displaystyle M}$中的柯西列，那么${\displaystyle \{f(x_{n})\}}$也必然是${\displaystyle N}$中的柯西列。

如果${\displaystyle \{x_{n}\}}$和${\displaystyle \{y_{n}\}}$是有理数、实数或复数构成的柯西列，那么${\displaystyle \{x_{n}+y_{n}\}}$和${\displaystyle \{x_{n}y_{n}\}}$也是柯西列。

在一个拓扑向量空间${\displaystyle X}$中同样可以定义一个柯西列：在${\displaystyle X}$选择一个${\displaystyle 0}$局部基${\displaystyle {\mathcal {B}}}$，如果对于${\displaystyle {\mathcal {B}}}$中的任何元素${\displaystyle V}$，存在一个正整数${\displaystyle N}$使得对于任意的${\displaystyle m,n>N}$而言，序列${\displaystyle \{x_{k}\}}$满足${\displaystyle x_{m}-x_{n}\in V}$，那么这个序列就称为一个柯西列。

如果这个拓扑向量空间${\displaystyle X}$上有恰好可以引入一个平移不变度量${\displaystyle d}$，那么上述方法定义的柯西列和利用这个度量${\displaystyle d}$定义的柯西列是等价的。

在一个群中，同样可以定义柯西列：

命${\displaystyle H=\{H_{r}\}}$表示一列有限指标的递减的${\displaystyle G}$的正规子群，那么群${\displaystyle G}$中一个序列${\displaystyle \{x_{n}\}}$称为柯西列（对于上述${\displaystyle H}$而言），当且仅当对于任意的${\displaystyle r}$，存在正整数${\displaystyle N}$使得对于任意的${\displaystyle m,n>N}$，都有${\displaystyle x_{m}x_{n}^{-1}\in H}$。

如果用${\displaystyle C}$表示所有的这样定义的柯西列组成的集合，那么${\displaystyle C}$在序列点点相乘的意义下构成一个新的群。而且${\displaystyle C_{0}}$，即所有空序列（对于任意${\displaystyle r}$，存在${\displaystyle N}$使得对于任意${\displaystyle n>N}$，都有${\displaystyle n\in H_{r}}$）构成了${\displaystyle C}$的正规子群。而商群${\displaystyle C/C_{0}}$称为${\displaystyle G}$相对于${\displaystyle H}$的完备化。

可以证明，这个完备化同构与序列${\displaystyle \{G/H_{4}\}}$的逆向极限同构。

如果${\displaystyle H}$是个共尾序列（即任何有限的正规子群均包含某个${\displaystyle H_{r}}$），那么这个完备化在与${\displaystyle \{G/H\}_{H}}$的逆极限同构的意义下是规范的，这里的${\displaystyle H}$跑遍所有有限的正规子群。