柯西函數方程

在有理數的範圍中，可以用簡單的代數得到唯一一類的解，表示為${\displaystyle f(x)=cx\ }$，其中${\displaystyle c}$任意給定的有理數。

在實數中，這個方程仍然有這一類解，然而存在著其他非常複雜的解，函數 f 經常被外加條件以排除那些複雜的解。例如：

• 若 f 是連續的 (由柯西於1821年證明)。這個條件在1875年被達布弱化，證明 f 只需要在一點連續。
• 若 f 在任一個區間上是單調的
• 若 f 在任一個區間上是有界的

另一方面，如果函數 f 沒有其他限制條件，那麼滿足方程的函數有無窮多個(假設選擇公理成立)。這在1905年由喬治·哈梅爾使用基的概念證明。

希爾伯特的第五個問題是這個方程的推廣。

存在實數${\displaystyle c\ }$使得${\displaystyle f(cx)\neq cf(x)\ }$的解稱為柯西─哈默方程（英語：）。在希爾伯特的第三個問題中，往高維度的推廣所用的德恩-哈德維格不變量（英語：），其中就用到柯西-哈默方程。[1]

先設${\displaystyle y=0\ }$，得到：

${\displaystyle f(x+0)=f(x)+f(0)\ }$

${\displaystyle f(0)=0\ }$

再設${\displaystyle y=-x\ }$：

${\displaystyle f(x-x)=f(x)+f(-x)\ }$

${\displaystyle f(-x)=-f(x)\ }$

反覆設${\displaystyle y=x\ }$、${\displaystyle y=2x\ }$、...、${\displaystyle y=x+x+\cdots +x}$，可以得到

${\displaystyle f(mx)=mf(x)\ }$...(1)

設${\displaystyle x={\frac {y}{n}}}$並代入(1)式得到：

${\displaystyle f\left({\frac {y}{n}}\right)={\frac {1}{n}}f(y)\ }$

或者${\displaystyle f\left({\frac {x}{n}}\right)={\frac {1}{n}}f(x)\ }$...(2)

對於任意有理數${\displaystyle {\frac {m}{n}}}$，設${\displaystyle y={\frac {m}{n}}x}$，根據(1)、(2)兩式可知：

${\displaystyle f\left({\frac {m}{n}}x\right)={\frac {m}{n}}f(x)\ }$

上式又可改寫為

${\displaystyle f\left(\alpha q\right)=qf(\alpha )\qquad \forall q\in \mathbb {Q} ,\alpha \in \mathbb {R} \ }$

令${\displaystyle \alpha =1\ }$就可以得到在有理數下的唯一解。

以下的證明將顯示（若存在）線性函數以外的解，該解是相當病態的函數。我們將證明這個函數f所對應的圖形${\displaystyle y=f(x)\ }$在${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$中稠密，亦即在平面上任何給定的圓都至少包含該圖形的一個點，我們將從這個定義著手證明。

不失一般性，假設解f滿足${\displaystyle f(q)=q,\forall q\in \mathbb {Q} }$，且能找到實數${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$滿足${\displaystyle f(\alpha )\neq \alpha }$，同時設${\displaystyle f(\alpha )=\alpha +\delta ,\delta \neq 0}$

任意給定一個圓，其內部必能找到一個小圓以點${\displaystyle (x,y)}$為圓心，其中滿足${\displaystyle x,y\in \mathbb {Q} ,x\neq y}$。令實數${\displaystyle r>0}$為半徑的${\displaystyle {\frac {2}{\sqrt[{}]{5}}}}$倍，即半徑為${\displaystyle {\frac {{\sqrt[{}]{5}}r}{2}}}$。

令${\displaystyle \beta ={\frac {y-x}{\delta }}}$，存在一個有理數${\displaystyle b\neq 0}$滿足：

${\displaystyle \left|\beta -b\right|<{\frac {r}{2\left|\delta \right|}}}$

類似地，存在一個有理數${\displaystyle a}$使得：

${\displaystyle \left|\alpha -a\right|<{\frac {r}{2\left|b\right|}}}$

設實數X,Y滿足：

${\displaystyle X=x+b(\alpha -a)\ }$

${\displaystyle Y=f(X)\ }$

從原方程和以上的關係式可以得知：

${\displaystyle Y=f(x+b(\alpha -a))\ }$

${\displaystyle =f(x)+f(b\alpha )-f(ba)\ }$

${\displaystyle =x+bf(\alpha )-bf(a)\ }$

${\displaystyle =(y-\delta \beta )+b(\alpha +\delta )-ba\ }$

${\displaystyle =y+b(\alpha -a)-\delta (\beta -b)\ }$

由以上關係式可知${\displaystyle \left|X-x\right|<{\frac {r}{2}},\left|Y-y\right|<r}$

∴${\displaystyle (X,Y)\ }$在指定的小圓內，

於是${\displaystyle (X,Y)\ }$在原本較大的圓內；

即在${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$中任意給定的圓內皆包含${\displaystyle y=f(x)\ }$圖形的一點；

即${\displaystyle y=f(x)\ }$的圖形在${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$中稠密，得證。

另一方法：如f 不是线性函数，存在${\displaystyle U=(u,f(u)),V=(v,f(v))}$在${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$独立。任取${\displaystyle X\in \mathbb {R} ^{2}}$, ${\displaystyle X=\alpha U+\beta V}$, ${\displaystyle \alpha }$和${\displaystyle \beta }$是有理数序列的极限, ${\displaystyle X}$是f 的图形的聚点。

與有理數的情形使用相同的方式，可以證明線性解的證明在任意的集合${\displaystyle \alpha \mathbb {Q} }$上也成立，其中${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$（表示所有有理數乘上${\displaystyle \alpha \ }$的積的集合，以下亦同）
我們可以透過這點找出函數方程的所有解。但這個方式極度地不可構造，而且是以選擇公理為基礎得到的。

在承認選擇公理的前提下，在${\displaystyle \mathbb {Q} }$上存在一個${\displaystyle \mathbb {R} }$的基底，也就是這樣的集合： ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} }$，使得對於任何實數${\displaystyle x\ }$，存在唯一的有限集合 ${\displaystyle \left\{a_{1},\dots ,a_{n}\right\}\subset A}$ 以及唯一對應的 ${\displaystyle n}$ 個有理數${\displaystyle \left\{\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}\right\}}$，滿足：

${\displaystyle x=\sum _{i=1}^{n}{\lambda _{i}a_{i}}}$

設想函數方程在實數集的子集${\displaystyle x\mathbb {Q} ,x\in A}$上成立，即滿足${\displaystyle f(y)=g(x)\,y}$，其中 ${\displaystyle y}$ 是 ${\displaystyle x}$ 的有理數倍。 運用前面推導的結論，得到對任意實數滿足方程的函數：

${\displaystyle f(x)=\sum _{i=1}^{n}{g(a_{i})\lambda _{i}a_{i}}}$

對於所有${\displaystyle g:A\rightarrow \mathbb {R} }$，以上${\displaystyle f(x)}$ 是函數方程的解。其中${\displaystyle f}$ 為線性的充要條件是 ${\displaystyle g}$是常數函數。

• 羅格斯大學 （页面存档备份，存于）網站上的解法（英文）
• The Hunt for Addi(c)tive Monster （页面存档备份，存于）（英文）