根軸

令向量${\displaystyle {\vec {x}}}$、${\displaystyle {\vec {m}}_{1}}$、${\displaystyle {\vec {m}}_{2}}$分別為根軸上的點 ${\displaystyle P}$、兩圓圓心${\displaystyle M_{1}}$、${\displaystyle M_{2}}$的位置。則根軸的「曲線」方程為：

${\displaystyle ({\vec {x}}-{\vec {m}}_{1})^{2}-r_{1}^{2}=({\vec {x}}-{\vec {m}}_{2})^{2}-r_{2}^{2},}$

即

${\displaystyle 2{\vec {x}}\cdot ({\vec {m}}_{2}-{\vec {m}}_{1})+{\vec {m}}_{1}^{2}-{\vec {m}}_{2}^{2}+r_{2}^{2}-r_{1}^{2}=0.}$

${\displaystyle d_{1},d_{2}}$的定義和計算

從右等式可知根軸是一條垂直於連心線的直線。因${\displaystyle {\vec {m}}_{1}^{2}-{\vec {m}}_{2}^{2}+r_{2}^{2}-r_{1}^{2}}$內積大小僅由${\displaystyle x}$在${\displaystyle {\vec {m}}_{2}-{\vec {m}}_{1}}$方向的分量決定，所以根軸是一條垂直於連心線的直線。

根軸在連心線上的垂足${\displaystyle L}$與圓心${\displaystyle M_{1}}$、${\displaystyle M_{2}}$的距離${\displaystyle d_{1}}$、${\displaystyle d_{2}}$分別滿足
${\displaystyle d_{1}={\frac {d^{2}+{r_{1}}^{2}-{r_{2}}^{2}}{2d}}\ ,\qquad d_{2}={\frac {d^{2}+{r_{2}}^{2}-{r_{1}}^{2}}{2d}}}$,
其中 ${\displaystyle d=|M_{1}M_{2}|}$.

如果兩圓相交，則根軸為它們交點的連線；如果兩圓相切，則根軸為它們的公切線[1]^:27。

三個圓能畫出三條根軸，這三條根軸交於一點，稱為三個圓的根心，若三個圓的圓心共線，則其根心為垂直於連心線方向上的無窮遠點[1]^:27。

考慮三圓${\displaystyle Q_{1}}$、${\displaystyle Q_{2}}$、${\displaystyle Q_{3}}$兩兩構成的三條根軸。令${\displaystyle P}$為${\displaystyle Q_{1}}$、${\displaystyle Q_{2}}$根軸以及${\displaystyle Q_{1}}$、${\displaystyle Q_{3}}$根軸的交點。有

${\displaystyle \operatorname {Pow} _{Q_{1}}(P)=\operatorname {Pow} _{Q_{2}}(P)}$，${\displaystyle \operatorname {Pow} _{Q_{1}}(P)=\operatorname {Pow} _{Q_{3}}(P)}$，

其中${\displaystyle \operatorname {Pow} _{Q_{i}}(P)}$表示點${\displaystyle P}$關於圓${\displaystyle Q_{i}}$的冪。

則知點${\displaystyle P}$關於${\displaystyle Q_{2}}$和${\displaystyle Q_{3}}$的圓冪都相等，因此它在第三條根軸上，換言之，三條根軸共點，存在根心。