格林-陶定理

对于任意的素数集合的子集${\displaystyle A}$，若${\displaystyle A}$相对于素数集合的上密度（英語：）为正，即：

${\displaystyle \limsup _{N\rightarrow \infty }{\dfrac {|A\cap [1,N]|}{\pi (N)}}>0}$

其中，${\displaystyle \pi (N)}$代表不大于${\displaystyle N}$的素数的个数。

那么：

对于任意的正整数${\displaystyle k}$，${\displaystyle A}$中的元素可以组成任意多个长度为${\displaystyle k}$的等差数列。[1]

格林-陶定理有以下两个直接的推论：

• 对于任意正整数${\displaystyle k}$，质数序列中存在任意多长度为${\displaystyle k}$的等差子序列
• 质数序列中包含有任意长的等差子序列

质数序列中长度为${\displaystyle k}$的等差子序列，對於1≤n≤k，目前最好的結果是對於k=26，此等差數列為：

{a_n=43,142,746,595,714,191 + 23,681,770 · 223,092,870 ·(n-1)}

• 格林-陶定理是塞迈雷迪定理在素数集上的推广。
• 格林-陶定理是埃尔德什等差数列猜想的一个特例。
• 更強的猜想是對於任何正整數r，質數序列中都存在任意長度非r−1階階差數列的r階階差數列（0階階差數列是常數數列，1階階差數列是等差數列，依此類推），格林-陶定理就是r=1的特例。對於2階階差數列，质数序列中长度为${\displaystyle k}$的二階階差子序列，對於0≤n≤k−1，目前最好的結果是對於k=45，此數列為36n^2-810n+2753（不管各項的大小順序，只要序列中沒有重複的質數就可以）。

• MathWorld news article on proof （页面存档备份，存于）
• Primes in Arithmetic Progression Records （页面存档备份，存于）