梅滕斯定理

證明梅滕斯第二定理的主要步驟如下：

${\displaystyle O(n)+n\log n=\log n!=\sum _{p^{k}\leq n}\lfloor n/p^{k}\rfloor \log p=\sum _{p^{k}\leq n}\left({\frac {n}{p^{k}}}+O(1)\right)\log p=n\sum _{p^{k}\leq n}{\frac {\log p}{p^{k}}}\ +O(n)}$

其中最後的等式要求${\displaystyle \sum _{p^{k}\leq n}\log p=O(n)}$，而這可由${\displaystyle \sum _{p\in (n,2n]}\log p\leq \log {2n \choose n}=O(n)}$得出。

因此我們證明了下式：

${\displaystyle \sum _{p^{k}\leq n}{\frac {\log p}{p^{k}}}=\log n+O(1)}$

由於在${\displaystyle k\geq 2}$時，質數的次方的倒數和收斂之故，這表示說

${\displaystyle \sum _{p\leq n}{\frac {\log p}{p}}=\log n+O(1)}$

故由分部求和法可推得下式：

${\displaystyle \sum _{p\leq n}{\frac {1}{p}}=\log \log n+M+O(1/\log n)}$

在一篇於1983年出版的關於除數函數增長率的文章中，[2]Guy Robin證明了以下在梅滕斯第二定理中出現的差會變號無限多次：

${\displaystyle \sum _{p\leq n}{\frac {1}{p}}-\log \log n-M}$

此外，以下在梅滕斯第三定理中出現的差也會變號無限多次：

${\displaystyle \log n\prod _{p\leq n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)-e^{-\gamma }}$

Robin的結果類似於李特爾伍德證明的「${\displaystyle \pi (x)-{\rm {Li}}(x)}$這個差會變號無限多次」的這定理。唯對於梅滕斯第二及第三定理而言，目前尚沒有類似於斯奎斯數這樣，最小的導致變號的自然數的上界。

梅滕斯在他的《兩個令人好奇的勒讓德公式》（two curious formula of Legendre）這篇論文中論及了這個非病態的公式[1]，在這篇文章中出現的第一個公式是梅滕斯第二定理的原型；而同篇文章中出現的第二個公式是梅滕斯第三定理的原型，詳情可見該篇文的前面數行。他回憶說這公式出現在勒讓德的《數論》（Théorie des nombres）的第三版（出版於1830年，而實際上該公式出現於1808年出版的第二版中），且更加詳細的版本為切比雪夫在1851年所證明。[3]應當注意的是，歐拉在1737年就已知該公式的非病態行為。

梅滕斯禮貌性地描述說他的證明是更加精準且確實的。實際上在他之前的任何證明，在現代標準下都是不可接受的：歐拉的計算牽涉到無限（以及無限的雙曲對數和無限的對數的對數）；勒讓德的論證是啟發性的；而切比雪夫證明，盡管邏輯上完美，但用到了直到1896年之前都尚未得證、並在後來被稱為質數定理的勒讓德─高斯猜想。

梅滕斯的證明並未用到在1874時尚未得證的任何猜想，且只用到基本的實分析，而這證明出現在質數定理得證的22年之前；而與之相對地，質數定理仰賴對做為複數域上的函數的黎曼ζ函數的行為的詳細分析。

由此來看，梅滕斯的證明在這方面是印象深刻的，事實上，以當今慣用的大O符號表記，其論述如下：

${\displaystyle \sum _{p\leq x}{\frac {1}{p}}=\log \log x+M+O(1/\log x)}$

而若使用最簡單、不帶誤差項估計的質數定理，可證明下式成立：[4]

${\displaystyle \sum _{p\leq x}{\frac {1}{p}}=\log \log x+M+o(1/\log x).}$

在1909年，愛德蒙·蘭道（Edmund Landau）用他當時可得的最好的質數定理的版本，證明了下式成立：[5]

${\displaystyle \sum _{p\leq x}{\frac {1}{p}}=\log \log x+M+O(e^{-(\log x)^{1/14}})}$

特別地，對任何固定數${\displaystyle k}$而言，這誤差項小於${\displaystyle 1/(\log x)^{k}}$

對已知的最強版本使用簡單的分部求和技巧，可將之改進為：

對於一些${\displaystyle c>0}$而言，有${\displaystyle \sum _{p\leq x}{\frac {1}{p}}=\log \log x+M+O(e^{-c(\log x)^{3/5}(\log \log x)^{-1/5}})}$

類似地，使用分部求和法可證明說質數定理蘊含了${\displaystyle \sum _{p\leq x}{\frac {\log p}{p}}=\log x+C+o(1)}$。

對於「${\displaystyle X}$（${\displaystyle X\gg n}$）沒有小於${\displaystyle n}$的因子的機率」的估計，可由下式給出：

${\displaystyle \prod _{p\leq n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)}$

這與梅滕斯第三定理密切相關，因為梅滕斯第三定理給出了下式的非病態估計：

${\displaystyle P(p\nmid X\ \forall p\leq n)={\frac {1}{e^{\gamma }\log n}}}$