扁球面坐標系

${\displaystyle \mu }$坐標曲面是扁球面 ：

${\displaystyle {\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}\cosh ^{2}\mu }}+{\frac {z^{2}}{a^{2}\sinh ^{2}\mu }}=\cos ^{2}\nu +\sin ^{2}\nu =1}$。

它們是由橢圓繞著z-軸旋轉形成的。橢球面與xz-平面的相交，是一個的橢圓。沿著x-軸，長半軸長度為${\displaystyle a\cosh \mu }$，沿著z-軸，短半軸長度為${\displaystyle a\sinh \mu }$。橢圓的焦點都包含於x-軸，x-坐標分別為${\displaystyle \pm a}$。

${\displaystyle \nu }$坐標曲面是半個單葉旋轉雙曲面 ：

${\displaystyle {\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}\cos ^{2}\nu }}-{\frac {z^{2}}{a^{2}\sin ^{2}\nu }}=\cosh ^{2}\mu -\sinh ^{2}\mu =1}$。

假若${\displaystyle \nu }$是正值，${\displaystyle z}$也是正值，這半個單葉旋轉雙曲面在xy-平面以上；假若是負值，則在xy-平面以下。${\displaystyle \nu }$是雙曲線的漸近線的角度。所有雙曲線的焦點都在x-軸，x-坐標分別為${\displaystyle \pm a}$。

${\displaystyle \phi }$坐標曲面是個半平面 ：

${\displaystyle x\sin \phi -y\cos \phi =0}$。

用直角坐標${\displaystyle (x,\ y,\ z)}$來計算扁球面坐標${\displaystyle (\mu ,\ \nu ,\ \phi )}$，方位角${\displaystyle \phi }$的公式為

${\displaystyle \tan \phi ={\frac {y}{x}}}$。

設定${\displaystyle d_{1}}$與${\displaystyle d_{2}}$分別為點P與焦圓的最遠距離與最近距離，以方程式表示為

${\displaystyle d_{1}^{2}=({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+a)^{2}+z^{2}}$、

${\displaystyle d_{2}^{2}=({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-a)^{2}+z^{2}}$。

坐標${\displaystyle \mu }$和${\displaystyle \nu }$的方程式分別為

${\displaystyle \cosh \mu ={\frac {d_{1}+d_{2}}{2a}}}$、

${\displaystyle \cos \nu ={\frac {d_{1}-d_{2}}{2a}}}$。

扁球面坐標${\displaystyle \mu }$與${\displaystyle \nu }$的標度因子相等：

${\displaystyle h_{\mu }=h_{\nu }=a{\sqrt {\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu }}}$。

方位角${\displaystyle \phi }$的標度因子為

${\displaystyle h_{\phi }=a\cosh \mu \ \cos \nu }$。

無窮小體積元素是

${\displaystyle dV=a^{3}\cosh \mu \ \cos \nu \ \left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)d\mu d\nu d\phi }$。

拉普拉斯算子是

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)}}\left[{\frac {1}{\cosh \mu }}{\frac {\partial }{\partial \mu }}\left(\cosh \mu {\frac {\partial \Phi }{\partial \mu }}\right)+{\frac {1}{\cos \nu }}{\frac {\partial }{\partial \nu }}\left(\cos \nu {\frac {\partial \Phi }{\partial \nu }}\right)\right]+{\frac {1}{a^{2}\left(\cosh ^{2}\mu \cos ^{2}\nu \right)}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}}$。

其它微分算子，像${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$、${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$，都可以用${\displaystyle (\mu ,\ \nu ,\ \phi )}$坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。

扁球面坐標${\displaystyle (\zeta ,\ \xi ,\ \phi )}$的標度因子分別為：

${\displaystyle h_{\zeta }=a{\sqrt {\frac {\zeta ^{2}+\xi ^{2}}{1+\zeta ^{2}}}}}$、

${\displaystyle h_{\xi }=a{\sqrt {\frac {\zeta ^{2}+\xi ^{2}}{1-\xi ^{2}}}}}$、

${\displaystyle h_{\phi }=a{\sqrt {(1+\zeta ^{2})(1-\xi ^{2})}}}$。

無窮小體積元素是

${\displaystyle dV=a^{3}(\zeta ^{2}+\xi ^{2})\,d\zeta \,d\xi \,d\phi }$。

拉普拉斯算子是

${\displaystyle \nabla ^{2}V={\frac {1}{a^{2}\left(\zeta ^{2}+\xi ^{2}\right)}}\left\{{\frac {\partial }{\partial \zeta }}\left[\left(1+\zeta ^{2}\right){\frac {\partial V}{\partial \zeta }}\right]+{\frac {\partial }{\partial \xi }}\left[\left(1-\xi ^{2}\right){\frac {\partial V}{\partial \xi }}\right]\right\}+{\frac {1}{a^{2}\left(1+\zeta ^{2}\right)\left(1-\xi ^{2}\right)}}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial \phi ^{2}}}}$。

${\displaystyle \sigma }$坐標曲面是扁球面 ：

${\displaystyle {\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}\sigma ^{2}}}+{\frac {z^{2}}{a^{2}\left(\sigma ^{2}-1\right)}}=1}$。

${\displaystyle \tau }$坐標曲面是單葉旋轉雙曲面 ：

${\displaystyle {\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}\tau ^{2}}}-{\frac {z^{2}}{a^{2}\left(1-\tau ^{2}\right)}}=1}$。

${\displaystyle \phi }$坐標曲面是半個平面 ：

${\displaystyle x\sin \phi -y\cos \phi =0}$。

扁球面坐標${\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ \phi )}$的標度因子分別為：

${\displaystyle h_{\sigma }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}{\sigma ^{2}+1}}}}$、

${\displaystyle h_{\tau }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}{1-\tau ^{2}}}}}$、

${\displaystyle h_{\phi }=a\sigma \tau }$。

無窮小體積元素是

${\displaystyle dV=a^{3}\sigma \tau {\frac {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}{\sqrt {\left(\sigma ^{2}+1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}}}d\sigma d\tau d\phi }$。

拉普拉斯算子是

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)}}\left\{{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left[\left(\sigma ^{2}+1\right){\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right]+{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left[\left(1-\tau ^{2}\right){\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right]\right\}+{\frac {1}{a^{2}\left(\sigma ^{2}+1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}}$。

其它微分算子，像${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$、${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$，都可以用${\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ z)}$坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。

如同球坐標解答的形式為球諧函數，拉普拉斯方程可以用分離變數法來求解，得到形式為扁球諧函數的答案。假若，邊界條件涉及扁球面，我們可以優先選擇這方法來解析。

• Morse PM, Feshbach H. . New York: McGraw-Hill. 1953: p. 662. 引文格式1维护：冗余文本 (link) 採用${\displaystyle \xi _{1}=a\sinh \mu }$、${\displaystyle \xi _{2}=\sin \nu }$、${\displaystyle \xi _{3}=\cos \phi }$。

• Zwillinger D. . Boston, MA: Jones and Bartlett. 1992: p. 115. ISBN 0-86720-293-9. 引文格式1维护：冗余文本 (link) 如同Morse & Feshbach (1953)，採用${\displaystyle u_{k}}$來替代${\displaystyle \xi _{k}}$。

• Smythe, WR. 3rd ed. New York: McGraw-Hill. 1968. 引文格式1维护：冗余文本 (link)

• Sauer R, Szabó I. . New York: Springer Verlag. 1967: p. 98. 引文格式1维护：冗余文本 (link) 採用混合坐標${\displaystyle \xi =a\sinh \mu }$、${\displaystyle \eta =\sin \nu }$、${\displaystyle \phi =\phi }$。

• Korn GA, Korn TM. . New York: McGraw-Hill. 1961: p. 177. 引文格式1维护：冗余文本 (link)採用第一種表述${\displaystyle (\mu ,\ \nu ,\ \phi )}$，又加介紹了簡併的第三種表述${\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ \phi )}$。

• Margenau H, Murphy GM. . New York: D. van Nostrand. 1956: p. 182. 引文格式1维护：冗余文本 (link) 如同Korn and Korn (1961)，但採用餘緯度${\displaystyle \theta =90^{\circ }-\nu }$來替代緯度${\displaystyle \nu }$。

• Moon PH, Spencer DE. . corrected 2nd ed., 3rd print ed. New York: Springer Verlag. 1988: pp. 31–34 (Table 1.07). ISBN 0-387-02732-7. 引文格式1维护：冗余文本 (link) Moon and Spencer採用餘緯度常規${\displaystyle \theta =90^{\circ }-\nu }$，又改名${\displaystyle \phi }$為${\displaystyle \psi }$。

• Landau LD, Lifshitz EM, Pitaevskii LP. 2nd edition. New York: Pergamon Press. 1984: pp. 19–29. ISBN 978-0750626347. 引文格式1维护：冗余文本 (link)視扁球面坐標系為橢球坐標系的極限。採用第二種表述。