极限点

${\displaystyle A}$ 为拓扑空间 ${\displaystyle X}$ （ 其拓撲為 ${\displaystyle \tau \subseteq P(X)}$ ） 的子集且 ${\displaystyle x\in X}$ ，若所有 ${\displaystyle x}$ 的开集也包含至少一个 ${\displaystyle A}$ 內的非x的点，即

${\displaystyle (\forall O\in \tau )\{(x\in O)\Rightarrow (\exists a\in O)[\,(a\in A)\wedge (a\neq x)\,]\}}$

稱 ${\displaystyle x}$ 為 ${\displaystyle A}$ 的极限点（注意到 ${\displaystyle x}$ 不一定属于 ${\displaystyle A}$ ）。由 ${\displaystyle A}$ 內所有極限點所組成的集合稱為 ${\displaystyle A}$ 的導集，標記為${\displaystyle A^{\prime }}$。

在T₁空間裡，上述定義和要求 ${\displaystyle x}$ 的每個鄰域皆包含無限多個 ${\displaystyle A}$ 的點是等價的。[註 4]

另外，若X為序列空間，則可稱x ∈ X為S的極限點，若且唯若存在一個由S \ {x}的點組成的ω序列，其極限為x；這也是「極限點」此一名稱的由來。

如果包含x的所有开集都包含无限多个S的点，则x是特殊类型极限点，称为S的‐会聚点（）。

如果包含${\displaystyle x}$的所有開集都包含不可数多個${\displaystyle S}$的點，則${\displaystyle x}$是特殊类型的极限点，稱為${\displaystyle S}$的缩合点（）。

• 关于极限点的性质：${\displaystyle x}$是${\displaystyle S}$的极限点，当且仅当它属于${\displaystyle S}$ \ {${\displaystyle x}$}的闭包。
  • 证明：根据闭包定义，某点属于某集合的闭包，当且仅当该点的所有邻域都和该集合相交。则有：x是${\displaystyle S}$的极限点，当且仅当所有${\displaystyle x}$的邻域都包含一个非${\displaystyle x}$的点属于S，当且仅当所有${\displaystyle x}$的邻域含有一个点属于${\displaystyle S}$\ {x}，当且仅当${\displaystyle x}$属于${\displaystyle S\ {''x''}}$的闭包。

• ${\displaystyle S}$的闭包具有下列性质：${\displaystyle S}$的闭包等于${\displaystyle S}$和其導集的并集。
  • 证明：（从左到右）设${\displaystyle x}$属于${\displaystyle S}$的闭包。若${\displaystyle x}$属于S，命题成立。若${\displaystyle x\notin S}$，则所有${\displaystyle x}$的邻域都含有一个非${\displaystyle x}$的点属于${\displaystyle S}$；也就是说，x是${\displaystyle S}$的极限点，${\displaystyle x\in S'}$。（从右到左）设${\displaystyle x}$属于S，则明显地所有${\displaystyle x}$的邻域和${\displaystyle S}$相交，所以${\displaystyle x}$属于${\displaystyle S}$的闭包。若${\displaystyle x}$属于L(S)，则所有${\displaystyle x}$的邻域都含有一个非${\displaystyle x}$的点属于S，所以${\displaystyle x}$也属于${\displaystyle S}$的闭包。得证。

• 上述结论的推论给出了闭集的性质：集合${\displaystyle S}$是闭集，当且仅当它含有所有它的极限点。
  • 证明1：S是闭集，当且仅当${\displaystyle S}$等于其闭包，当且仅当${\displaystyle S}$=${\displaystyle S}$∪ L(S)，当且仅当L(S)包含于S。
  • 证明2：设${\displaystyle S}$是闭集，${\displaystyle x}$是${\displaystyle S}$的极限点。则${\displaystyle x}$必须属于S，否则${\displaystyle S}$的补集为${\displaystyle x}$的开邻域，和${\displaystyle S}$不相交。相反，设${\displaystyle S}$包含所有它的极限点，需要证明${\displaystyle S}$的补集是开集。设${\displaystyle x}$属于${\displaystyle S}$的补集。根据假设，x不是极限点，则存在${\displaystyle x}$的开邻域U和${\displaystyle S}$不相交，则U在${\displaystyle S}$的补集中，则${\displaystyle S}$的补集是开集。

• 孤点不是任何集合的极限点。
  • 证明：若${\displaystyle x}$是孤点，则{x}是只含有${\displaystyle x}$的${\displaystyle x}$的邻域。

• 空间${\displaystyle x}$是离散空间，当且仅当${\displaystyle x}$的子集都没有极限点。
  • 证明：若${\displaystyle x}$是离散空间，则所有点都是孤点，不能是任何集合的极限点。相反，若${\displaystyle x}$不是离散空间，则单元素集合{x}不是开集。那么，所有{x}的邻域都含有点y ≠ x，则${\displaystyle x}$是${\displaystyle x}$的极限点。

• 若空间${\displaystyle x}$有密着拓扑，且${\displaystyle S}$是${\displaystyle x}$的多于一个元素的子集，则${\displaystyle x}$的所有元素都是${\displaystyle S}$的极限点。若${\displaystyle S}$是单元素集合，则所有${\displaystyle x}$\${\displaystyle S}$的点仍然是${\displaystyle S}$的极限点。
  • 说明：只要${\displaystyle S}$\ {x}非空，它的闭包就是X；只有当${\displaystyle S}$是空集或${\displaystyle x}$是${\displaystyle S}$的唯一元素时，它的闭包才是空集。

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