概率母函数

如果 ${\displaystyle X}$ 是在非负整数域${\displaystyle \{0,1,...\}}$上取值的离散随机变量，那么${\displaystyle X}$的概率母函数定义为 [1]

${\displaystyle G(z)=\operatorname {E} (z^{X})=\sum _{x=0}^{\infty }p(x)z^{x},}$

其中${\displaystyle p}$是${\displaystyle X}$的概率质量函数。

如果 ${\displaystyle X=(X_{1},\ldots ,X_{d})}$ 是在d-非负整数格${\displaystyle \{0,1,\ldots \}^{d}}$上取值的离散随机变量，那么${\displaystyle X}$的概率母函数定义为

${\displaystyle G(z)=G(z_{1},\ldots ,z_{d})=\operatorname {E} {\bigl (}z_{1}^{X_{1}}\cdots z_{d}^{X_{d}}{\bigr )}=\sum _{x_{1},\ldots ,x_{d}=0}^{\infty }p(x_{1},\ldots ,x_{d})z_{1}^{x_{1}}\cdots z_{d}^{x_{d}},}$

其中${\displaystyle p}$是${\displaystyle X}$的概率质量函数。