標準矩

設X為一隨機變量，其機率密度函數為f、平均值為 ${\textstyle \mu =\mathrm {E} [X]}$ (一階原點矩)，則第k階標準矩為${\displaystyle {\frac {\mu _{k}}{\sigma ^{k}}}\!}$，[2] 其中${\displaystyle \mu _{k}}$是第k階中心矩：

${\displaystyle \mu _{k}=\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{k}\right]=\int _{-\infty }^{+\infty }(x-\mu )^{k}f(x)\mathrm {d} x}$

${\displaystyle \sigma ^{k}}$為標準差的k次方：

${\displaystyle \sigma ^{k}={\Bigl (}{\sqrt {\mathrm {E} [(X-\mu )^{2}]}}{\Bigr )}^{k}}$

以通式表示：

${\displaystyle {\hat {\mu }}_{k}={\frac {\mu _{k}}{\sigma ^{k}}}={\frac {\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{k}\right]}{(\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right])^{k/2}}}}$

• 中心矩為k次齐次函数：${\displaystyle \mu _{k}(\lambda X)=\lambda ^{k}\mu _{k}(X)}$
• 標準矩具有縮放不變性。
• 由於上述標準矩的定義中將矩的因次消除了，因此標準矩為无因次量。

以下列出前4個標準矩：

階數 k	定義	說明
1	${\displaystyle {\hat {\mu }}_{1}={\frac {\mu _{1}}{\sigma ^{1}}}={\frac {\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{1}\right]}{(\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right])^{1/2}}}=0}$	一階標準矩恆為0， 因為一階中心矩恆為0。
2	${\displaystyle {\hat {\mu }}_{2}={\frac {\mu _{2}}{\sigma ^{2}}}={\frac {\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right]}{(\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right])^{2/2}}}=1}$	二階標準矩恆為1， 因為二階中心矩即為變異數${\displaystyle \sigma ^{2}}$。
3	${\displaystyle {\hat {\mu }}_{3}={\frac {\mu _{3}}{\sigma ^{3}}}={\frac {\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{3}\right]}{(\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right])^{3/2}}}}$	三階標準矩用於定義偏度。
4	${\displaystyle {\hat {\mu }}_{4}={\frac {\mu _{4}}{\sigma ^{4}}}={\frac {\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{4}\right]}{(\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right])^{4/2}}}}$	四階標準矩用於定義峰度。

• 中心矩
• 矩

1. Ramsey, James Bernard; Newton, H. Joseph; Harvill, Jane L. . . Duxbury/Thomson Learning. 2002-01-01: 96. ISBN 9780534371111 （英语）.
2. Weisstein, Eric W. (编). . at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2016-03-30]. （原始内容存档于2022-01-27） （英语）.