模幂

计算模幂的最直接方法是直接算出${\displaystyle b^{e}}$，再把结果模除${\displaystyle m}$。假设已知${\displaystyle b=4}$，${\displaystyle e=13}$，以及${\displaystyle m=497}$，要求${\displaystyle c}$：

${\displaystyle c\equiv 4^{13}{\pmod {497}}}$

可用计算器算得4¹³结果为67,108,864，模除497，可得c等于445。

注意到${\displaystyle b}$只有一位，${\displaystyle e}$也只有两位，但${\displaystyle b^{e}}$的值却有8位。

强加密时${\displaystyle b}$通常至少有1024位[1]。考虑${\displaystyle b=5\times 10^{76}}$和${\displaystyle e=17}$的情况，${\displaystyle b}$的长度为77位，${\displaystyle e}$的长度为2位，但是${\displaystyle b^{e}}$的值以十进制表示却已经有1304位。现代计算机虽然可以进行这种计算，但计算速度却大大降低。

用这种算法求模幂所需的时间取决于操作环境和处理器，时间复杂度为${\displaystyle \mathrm {O} (e)}$。

这种方法比第一种所需要的步骤更多，但所需内存和时间均大为减少，其原理为： 给定两个整数${\displaystyle a}$和${\displaystyle b}$，以下两个等式是等价的：

${\displaystyle c{\bmod {m}}=(a\cdot b){\bmod {m}}}$

${\displaystyle c{\bmod {m}}=[(a{\bmod {m}})\cdot (b{\bmod {m}})]{\bmod {m}}}$

算法如下：

1. 令${\displaystyle c=1}$，${\displaystyle e'=0}$。
2. ${\displaystyle e'}$自增1。
3. 令${\displaystyle c=(b\cdot c){\bmod {m}}}$.
4. 若${\displaystyle e'<e}$，则返回第二步；否则，${\displaystyle c}$即为${\displaystyle c\equiv b^{e}{\pmod {m}}}$。

再以${\displaystyle b=4}$，${\displaystyle e=13}$，${\displaystyle m=497}$为例说明，算法第三步需要执行13次：

• ${\displaystyle e'=1\cdot c=(1\cdot 4){\bmod {4}}97=4{\bmod {4}}97=4}$
• ${\displaystyle e'=2\cdot c=(4\cdot 4){\bmod {4}}97=16{\bmod {4}}97=16}$
• ${\displaystyle e'=3\cdot c=(16\cdot 4){\bmod {4}}97=64{\bmod {4}}97=64}$
• ${\displaystyle e'=4\cdot c=(64\cdot 4){\bmod {4}}97=256{\bmod {4}}97=256}$
• ${\displaystyle e'=5\cdot c=(256\cdot 4){\bmod {4}}97=1024{\bmod {4}}97=30}$
• ${\displaystyle e'=6\cdot c=(30\cdot 4){\bmod {4}}97=120{\bmod {4}}97=120}$
• ${\displaystyle e'=7\cdot c=(120\cdot 4){\bmod {4}}97=480{\bmod {4}}97=480}$
• ${\displaystyle e'=8\cdot c=(480\cdot 4){\bmod {4}}97=1920{\bmod {4}}97=429}$
• ${\displaystyle e'=9\cdot c=(429\cdot 4){\bmod {4}}97=1716{\bmod {4}}97=225}$
• ${\displaystyle e'=10\cdot c=(225\cdot 4){\bmod {4}}97=900{\bmod {4}}97=403}$
• ${\displaystyle e'=11\cdot c=(403\cdot 4){\bmod {4}}97=1612{\bmod {4}}97=121}$
• ${\displaystyle e'=12\cdot c=(121\cdot 4){\bmod {4}}97=484{\bmod {4}}97=484}$
• ${\displaystyle e'=13\cdot c=(484\cdot 4){\bmod {4}}97=1936{\bmod {4}}97=445}$

因此最终结果${\displaystyle c}$为445，与第一种方法所求结果相等。

与第一种方法相同，这种算法需要${\displaystyle \mathrm {O} (e)}$的时间才能完成。但是，由于在计算过程中处理的数字比第一种算法小得多，因此计算时间至少减少了${\displaystyle \mathrm {O} (e)}$倍。

算法伪代码如下：

function modular_pow(b, e, m)
    if m = 1
        then return 0
    c := 1
    for e' = 0 to e-1
        c := (c * b) mod m
    return c

第三种方法结合了第二种算法和平方求幂原理，使所需步骤大大减少，同时也与第二种方法一样减少了内存占用量。

首先把${\displaystyle e}$表示成二进制，即：

${\displaystyle e=\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}2^{i}}$

此时${\displaystyle e}$的长度为${\displaystyle n}$位。对任意${\displaystyle i}$（${\displaystyle 0\leq i<n}$），${\displaystyle a_{i}}$可取0或1任一值。由定义有${\displaystyle a_{n-1}=1}$。

${\displaystyle b^{e}}$的值可写作：

${\displaystyle b^{e}=b^{\left(\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}2^{i}\right)}=\prod _{i=0}^{n-1}\left(b^{2^{i}}\right)^{a_{i}}}$

因此答案${\displaystyle c}$即为：

${\displaystyle c\equiv \prod _{i=0}^{n-1}\left(b^{2^{i}}\right)^{a_{i}}\ ({\mbox{mod}}\ m)}$

function modular_pow(base, exponent, modulus)
    if modulus = 1 then return 0
    Assert :: (modulus - 1) * (modulus - 1) does not overflow base
    result := 1
    base := base mod modulus
    while exponent > 0
        if (exponent mod 2 == 1):
           result := (result * base) mod modulus
        exponent := exponent >> 1
        base := (base * base) mod modulus
    return result

function modPow(b,e,m)
        if m == 1 then
                return 0
        else
                local r = 1
                b = b % m
                while e > 0 do
                        if e % 2 == 1 then
                                r = (r*b) % m
                        end
                        e = e >> 1     --Lua 5.2或更早版本使用e = math.floor(e / 2)
                        b = (b^2) % m
                end
                return r
        end
end

鉴于模幂运算是计算机科学中的重要操作，并且已有高效算法，所以许多编程语言和高精度整数库都有执行模幂运算的函数：

• Python内置的pow()（求幂）函数 （页面存档备份，存于）
• .NET框架的BigInteger类的ModPow()方法
• Java的java.math.BigInteger类的modPow()方法
• Perl的Math::BigInt模块的bmodpow()方法 （页面存档备份，存于）
• Raku内置的expmod例程
• Go的big.Int类的Exp()（求幂）方法 （页面存档备份，存于）
• PHP的BC Math库的bcpowmod()函数 （页面存档备份，存于）
• GNU多重精度运算库（GMP）的mpz_powm()函数 （页面存档备份，存于）
• FileMaker Pro的@PowerMod()函数（以1024位RSA加密为例）
• Ruby的openssl包的OpenSSL::BN#mod_exp方法 （页面存档备份，存于）
• HP Prime计算器的CAS.powmod()函数

• 蒙哥马利算法，用于计算模很大时的余数。

• Schneier, Bruce. 2nd. Wiley. 1996. ISBN 978-0-471-11709-4.
• Paul Garrett, Fast Modular Exponentiation Java Applet （页面存档备份，存于）
• Gordon, Daniel M. (PDF). Journal of Algorithms (Elsevier BV). 1998, 27 (1): 129–146 [2019-11-30]. ISSN 0196-6774. doi:10.1006/jagm.1997.0913. （原始内容存档 (PDF)于2019-08-27）.