整数模n乘法群

在同余理论中，模 n 的互质同余类组成一个乘法群，称为整数模 n 乘法群，也称为模 n 既约剩余类。在环理论中，一个抽象代数的分支，也称这个群为整数模 n 的环的单位群（单位是指乘法可逆元）。

这个群是数论的基石，在密码学、整数分解和均有运用。例如，关于这个群的阶（即群的“大小”），我们可以确定如果 n 是质数当且仅当阶数为 n-1。

群公理

容易验证模 n 互质同余类在乘法运算下满足阿贝尔群的公理。

互质同余类的乘法是良好定义：a 与 n 互质，当且仅当 gcd(a, n) = 1. 同余类中的整数a ≡ b (mod n) 满足gcd(a, n) = gcd(b, n), 因此一个整数与 n 互质当且仅当另一个整数也与 n 互质.

恒同: 1 是恒同； 1所在的同余类是唯一的乘法恒同类

闭：如果 a 和 b 都与 n 互质，那么 ab 也是；因为gcd(a, n) = 1 与 gcd(b, n) = 1 意味着 gcd(ab, n) = 1, 与 n 互质的同余类在乘法下是封闭的。

逆：找 x 满足 ax ≡ 1 (mod n) 等价于解 ax + ny = 1，可用欧几里得算法求出x，并且x在模n的同余类里。当 a 与 n 互质, 由于 gcd(a, n) = 1 ,根据裴蜀定理存在整数 x 与 y 满足 ax + ny = 1. 注意到由等式 ax + ny = 1 可推出 x 与 n 互质, 所以乘法逆元属于群.

结合性和交换性：由整数的相应事实以及模 n 运算是一个环同态推出。由于同余类a ≡ a' 与 b ≡ b' (mod n) 的整数乘法意味着 ab ≡ a'b' (mod n). 这可推出乘法满足结合律、交换律。

记法

整数模 n 环记作 $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ 或 $\mathbb {Z} /(n)$ （即整数环模去理想 nZ = (n) ，由 n 的倍数组成）或 $\mathbb {Z} _{n}.$ 因作者所喜，它的单位群可能记为 $(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{*},$ $(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times },$ $U(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ),$ 或类似的记号，本文采用 $(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }.$

结构

2 的幂次

模 2 只有一个互质同余类 1，所以 $(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )^{\times }\cong \{1\}$ 平凡。

模 4 有两个互质同余类，1 和 3，所以 $(\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} )^{\times }\cong C_{2},$ 两元循环群。

模 8 有四个互质同余类，1, 3, 5 和 7，每个平方都是 1，所以 $(\mathbb {Z} /8\mathbb {Z} )^{\times }\cong C_{2}\times C_{2},$ Klein 四元群。

模 16 有八个互质同余类，1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 和 15。 $\{\pm 1,\pm 7\}\cong C_{2}\times C_{2},$ 为 2-扭子群（即每个元素的平方为 1），所以 $(\mathbb {Z} /16\mathbb {Z} )^{\times }$ 不是循环群。3的幂次： $\{1,3,9,11\}$ 是一个 4 阶子群，5 的幂次也是， $\{1,5,9,13\}$ 。所以 $(\mathbb {Z} /16\mathbb {Z} )^{\times }\cong C_{2}\times C_{4}$ 。

以上 8 和 16 的讨论对高阶幂次 2^k, k > 2[1] 也成立： $\{\pm 1,2^{k-1}\pm 1\}\cong C_{2}\times C_{2},$ 是 2-扭子群（所以 $(\mathbb {Z} /2^{k}\mathbb {Z} )^{\times }$ 不是循环）而 3 的幂次是一个2^{k- 2} 子群，所以 $(\mathbb {Z} /2^{k}\mathbb {Z} )^{\times }\cong C_{2}\times C_{2^{k-2}}$ 。

奇质数的幂

对奇质数的幂 p^k，此群是循环群：[2] $\;\;(\mathbb {Z} /p^{k}\mathbb {Z} )^{\times }\cong C_{p^{k-1}(p-1)}\cong C_{\varphi (p^{k})}.$

一般合数

中国剩余定理[3] 说明如果 $\;\;n=p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}p_{3}^{k_{3}}\dots ,\;$ 那么环 $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ 每个质数幂因子相应的环的直积：

\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \cong \mathbb {Z} /{p_{1}^{k_{1}}}\mathbb {Z} \;\times \;\mathbb {Z} /{p_{2}^{k_{2}}}\mathbb {Z} \;\times \;\mathbb {Z} /{p_{3}^{k_{3}}}\mathbb {Z} \dots \;\;

类似地， $(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }$ 的单位群是每个质数幂因子相应群的直积：

(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }\cong (\mathbb {Z} /{p_{1}^{k_{1}}}\mathbb {Z} )^{\times }\times (\mathbb {Z} /{p_{2}^{k_{2}}}\mathbb {Z} )^{\times }\times (\mathbb {Z} /{p_{3}^{k_{3}}}\mathbb {Z} )^{\times }\dots \;.

阶数

群的阶数由欧拉函数给出： $|(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }|=\varphi (n).$ （OEIS數列A000010）这是直积中各循环阶数的乘积。

指数

指数为卡邁克爾函數 $\lambda (n)$ ，（OEIS數列A002322），即这些循环群的阶数的最小公倍数。这意味着如果 a 和 n 互质， $a^{\lambda (n)}\equiv 1{\pmod {n}}.$

生成元

$(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }$ 是循环群当且仅当 $\varphi (n)=\lambda (n).$ 这在 n 为奇质数的幂次、奇质数幂次 2 倍、2 和 4 成立，此时也称一个生成元为模 n 的原根。

因为所有 $(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times },$ n = 1, 2, ..., 7 是循环群，上述结论的另一种说法是：如果 n < 8 那么 $\;(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }$ 有原根；如果 n ≥ 8，且不能被 4 或者两个不同的奇质数整除， $\;(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }$ 有原根。( A033948 = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 13, 14, 17, 18, 19, 22, 23, 25, 26, 27, 29, 31, 34, 37, 38, 41, 43, 46, 47, 49, 50, ... )

一般情形每个直积因子循环有一个生成元。

列表

这个表列出了较小 n $(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }$ 的结构和生成元。生成元不是惟一（mod n）的，比如 (mod 16) 时 {–1, 3} 和{–1, 5} 都可以。生成元以和直积因子相同的顺序列出。

以 n=20 为例。 $\varphi (20)=8$ 意味着 $(\mathbb {Z} /20\mathbb {Z} )^{\times }$ 的阶数是 8（即有 8 个小于 20 的正整数与其互质）； $\lambda (20)=4$ 说明任何和20互质的数的 4 次幂≡ 1(mod 20)；至于生成元，19 的指数为2，3 的指数为 4，而任何 $(\mathbb {Z} /20\mathbb {Z} )^{\times }$ 中元素都是 19^a × 3^b 的形式，这里 a 为 0 或 1，b 为 0, 1, 2, 或 3。

19 的幂是 {±1}，3 的幂为 {3, 9, 7, 1}。后者和他们的负数 (mod 20)，{17, 11, 13, 19} 是所有小于 20 且与其互质的数。19 的指数为 2 而 3 的指数为 4 意味着任何 $\mathbb {Z} _{20}^{\times }$ 中数的 4 次幂 ≡ 1 (mod 20)。

**(Z/nZ)^×** 的群结构
$n$	$(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }$	$\varphi (n)$	$\lambda (n)$	生成元	$n$	$(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }$	$\varphi (n)$	$\lambda (n)$	生成元	$n$	$(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }$	$\varphi (n)$	$\lambda (n)$	生成元
1	C₁	1	1	0	32	C₂×C₈	16	8	31, 3	63	C₆×C₆	36	6	2, 5
2	C₁	1	1	1	33	C₂×C₁₀	20	10	10, 2	64	C₂×C₁₆	32	16	3, 63
3	C₂	2	2	2	34	C₁₆	16	16	3	65	C₄×C₁₂	48	12	2, 12
4	C₂	2	2	3	35	C₂×C₁₂	24	12	6, 2	66	C₂×C₁₀	20	10	5, 7
5	C₄	4	4	2	36	C₂×C₆	12	6	19, 5	67	C₆₆	66	66	2
6	C₂	2	2	5	37	C₃₆	36	36	2	68	C₂×C₁₆	32	16	3, 67
7	C₆	6	6	3	38	C₁₈	18	18	3	69	C₂×C₂₂	44	22	2, 68
8	C₂×C₂	4	2	7, 3	39	C₂×C₁₂	24	12	38, 2	70	C₂×C₁₂	24	12	3, 11
9	C₆	6	6	2	40	C₂×C₂×C₄	16	4	39, 11, 3	71	C₇₀	70	70	7
10	C₄	4	4	3	41	C₄₀	40	40	6	72	C₂×C₂×C₆	24	12	5, 7, 11
11	C₁₀	10	10	2	42	C₂×C₆	12	6	13, 5	73	C₇₂	72	72	5
12	C₂×C₂	4	2	5, 7	43	C₄₂	42	42	3	74	C₃₆	36	36	5
13	C₁₂	12	12	2	44	C₂×C₁₀	20	10	43, 3	75	C₂×C₂₀	40	20	2, 74
14	C₆	6	6	3	45	C₂×C₁₂	24	12	44, 2	76	C₂×C₁₈	36	18	3, 75
15	C₂×C₄	8	4	14, 2	46	C₂₂	22	22	5	77	C₂×C₃₀	60	30	2, 76
16	C₂×C₄	8	4	15, 3	47	C₄₆	46	46	5	78	C₂×C₁₂	24	12	5, 7
17	C₁₆	16	16	3	48	C₂×C₂×C₄	16	4	47, 7, 5	79	C₇₈	78	78	3
18	C₆	6	6	5	49	C₄₂	42	42	3	80	C₂×C₄×C₄	32	4	3, 7, 11
19	C₁₈	18	18	2	50	C₂₀	20	20	3	81	C₅₄	54	54	2
20	C₂×C₄	8	4	19, 3	51	C₂×C₁₆	32	16	50, 5	82	C₄₀	40	40	7
21	C₂×C₆	12	6	20, 2	52	C₂×C₁₂	24	12	51, 7	83	C₈₂	82	82	2
22	C₁₀	10	10	7	53	C₅₂	52	52	2	84	C₂×C₂×C₆	24	12	5, 11, 13
23	C₂₂	22	22	5	54	C₁₈	18	18	5	85	C₄×C₁₆	64	16	2, 3
24	C₂×C₂×C₂	8	2	5, 7, 13	55	C₂×C₂₀	40	20	21, 2	86	C₄₂	42	42	3
25	C₂₀	20	20	2	56	C₂×C₂×C₆	24	6	13, 29, 3	87	C₂×C₂₈	56	28	2, 86
26	C₁₂	12	12	7	57	C₂×C₁₈	36	18	20, 2	88	C₂×C₂×C₁₀	40	10	3, 5, 7
27	C₁₈	18	18	2	58	C₂₈	28	28	3	89	C₈₈	88	88	3
28	C₂×C₆	12	6	13, 3	59	C₅₈	58	58	2	90	C₂×C₁₂	24	12	7, 11
29	C₂₈	28	28	2	60	C₂×C₂×C₄	16	4	11, 19, 7	91	C₆×C₁₂	72	12	2, 3
30	C₂×C₄	8	4	11, 7	61	C₆₀	60	60	2	92	C₂×C₂₂	44	22	3, 91
31	C₃₀	30	30	3	62	C₃₀	30	30	3	93	C₂×C₃₀	60	30	5, 11

参见

Lenstra 椭圆曲线分解，Lenstra 给出的基于椭圆曲线的整数因子分解算法）

注释

高斯, DA, arts. 90-91
高斯, DA, arts.52-56, 82-89
Riesel 包含所有情形。 pp. 267-275

参考文献

高斯的算术研究（Disquisitiones Arithemeticae）由西塞罗拉丁语翻译成英语和德语。德语版包含他所有数论的论文：所有关于二次互反律的证明，高斯和符号的确定，双二次互反律的研究以及未发表的笔记。

Gauss, Carl Friedrich; Clarke, Arthur A. (translator into English), , New York: Springer, 1986, ISBN 0387962549

Gauss, Carl Friedrich; Maser, H. (translator into German), , New York: Chelsea, 1965, ISBN 0-8284-0191-8

Riesel, Hans, , Boston: Birkhäuser, 1994, ISBN 0-8176-3743-5

外部链接

埃里克·韦斯坦因. . MathWorld.

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[1] 高斯, DA, arts. 90-91

[2] 高斯, DA, arts.52-56, 82-89

[3] Riesel 包含所有情形。 pp. 267-275