欧拉计划

**欧拉计划**
网站类型	解题类网站
创始人	Colin Hughes
网址	projecteuler.net
商业性质	非盈利
注册	免费
推出时间	2001年10月5日

欧拉计划（Project Euler）是一个解题网站，站内提供了一系列数学题供用户解答，解题的用户主要是对数学和计算机编程感兴趣的成年人及学生。其主旨为鼓励、挑战和培养爱好数学的人的技能和乐趣。目前该站包含了七百多道不同难度的数学题。每一题都可以通过计算机程序在1分钟内求出结果。该网站自2001年起定期增加新的题目，每题都有对应的讨论区，只有注册用户在正确提交了这题的答案后才能进入。[1] 网站设立了6个排行榜，其中的欧拉人（Eulerians）排行榜的分数需要最新题目的前50位解答者才能获得。[2]欧拉计划不希望在站外分享题目的答案。

例题与解答

欧拉计划的第一题是：

列举出10以下所有3或5的倍数，我们得到 3, 5, 6 和 9。他们的和是23。

求1000以下所有3或5的倍数之和。

虽然这题比欧拉计划大多数题目要容易的多，我们仍然可以用它来分析不同解题方法的效率。

用 $O{\bigl (}n{\bigr )}$ 的穷举法来测试1000以下的所有符合条件的自然数，再将它们相加就能得到这题的结果。这很容易实现，用以下两种不同的编程语言都能用很快求解出答案。

Python：

print(sum(i for i in range(1000) if i%3 == 0 or i%5 == 0))

C++：

#include <iostream>
using namespace std;
int main( ) {
  int sum = 0;
  for (int i = 0; i < 1000; i++)
    if ( i % 3 == 0 || i % 5 == 0 )
      sum += i;
  cout << sum << endl;
  return 0;
}

但如果用容斥原理进行求和，就可以减少1000多次运算，获得 $O{\bigl (}1{\bigr )}$ 的时间复杂度。

sum(n)=\sum _{i=1}^{\lfloor {\frac {n}{3}}\rfloor }3i+\sum _{i=1}^{\lfloor {\frac {n}{5}}\rfloor }5i-\sum _{i=1}^{\lfloor {\frac {n}{15}}\rfloor }15i

\sum _{i=1}^{n}ki=k{\frac {(n)(n+1)}{2}}

Python 实现：

def sum1toN(n):
   return n * (n + 1) / 2

def sumMultiples(limit, a):
   return sum1toN((limit - 1) / a) * a

sumMultiples(1000, 3) + sumMultiples(1000, 5) - sumMultiples(1000, 15)

采用这种方法，计算10,000,000以下或1000以下所花费的时间是相等的。

参考文献

. [2009-02-08]. （原始内容存档于2008-03-14）.
. [2011-07-03]. （原始内容存档于2011-09-25）.

外部链接

欧拉计划首页（页面存档备份，存于）

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[1] . [2009-02-08]. （原始内容存档于2008-03-14）.

[2] . [2011-07-03]. （原始内容存档于2011-09-25）.