歐拉線

如图${\displaystyle H,G,O}$分别是${\displaystyle {\triangle }ABC}$的垂心，重心，外心。

設${\displaystyle D}$為直線${\displaystyle BO}$和${\displaystyle {\triangle }ABC}$外接圆的交點，並连结${\displaystyle AH,AD,CD,CH}$。

（1） ${\displaystyle {\because \quad }BD}$是直徑，${\displaystyle {\therefore \quad }CD{\perp }BC}$且${\displaystyle AD{\perp }AB}$。

又${\displaystyle H}$是垂心，${\displaystyle {\therefore \quad }AH{\perp }BC}$且${\displaystyle CH{\perp }AB}$。

${\displaystyle {\therefore \quad }CD//AH}$，${\displaystyle AD//CH}$。

${\displaystyle ADCH}$为平行四边形。

->${\displaystyle AH=DC}$

又${\displaystyle O,\;M}$分别是${\displaystyle BD,\;CB}$的中点，

${\displaystyle {\therefore \quad }DC=2OM}$， ${\displaystyle AH=2OM}$

（2） 作${\displaystyle BC}$边上的中线${\displaystyle AM,}$连结${\displaystyle OM,\;OH}$

设${\displaystyle OH}$交${\displaystyle AM}$于点${\displaystyle G'}$

${\displaystyle {\because \quad }OM{\perp }BC,\;{\triangle }AHG'{\sim \triangle }MOG',\;AH=DC=2OM}$，

${\displaystyle {\therefore \quad }AG'=2G'M}$，

${\displaystyle {\therefore \quad }G'}$即${\displaystyle \triangle ABC}$的重心${\displaystyle G}$

${\displaystyle \therefore \quad \triangle ABC}$的垂心${\displaystyle H,}$重心${\displaystyle G,}$外心${\displaystyle O}$三点共线${\displaystyle ,}$直线${\displaystyle HGO}$即欧拉线

九点圆的圆心也在欧拉线上，且在垂心到外心的线段的中点

如图，H、G、Ω分别是△ABC的垂心、重心、外心，三角形的三边中点I _i，三高的垂足H_i，和顶点到垂心的三条线段的中点J _i

令HΩ和J₁I₁的交点为K，∵BΩ=CΩ，BI₁=CI₁，∴ΩI₁⊥BC，又∵AH₁⊥BC，∴ΩI₁∥AH₁。

∵∠GΩI₁=∠AHG，∠GAH=∠GI₁Ω，∴△AGH∽△GΩI₁。∵AG=2GI₁，∴AH=2ΩI₁，即ΩI₁=J₁H。

∵ΩI₁∥AH₁， J₁H=ΩI₁ ∴J₁K=KI₁, HK = KΩ。

同理J₂K=KI₂， J₃K=KI₃。 可知K为九点圆圆心。

∵点K在HΩ上，HK = KΩ

∴九点圆圆心在欧拉线上，且在垂心到外心的线段的中点。

1. . 上海辞书出版社.

• Altitudes and the Euler Line （页面存档备份，存于）
• Euler Line and 9-Point Circle （页面存档备份，存于）