极限 (范畴论)

設 F : J → C 為一個在範疇 C 中類型 J 的圖示。一個對應於 F 的「錐體」是指 C 中的一物件 N ，具有可以 J 內之物件 X 索引的態射族 ψ_X : N → F(X)，使得對每個 J 內的態射 f : X → Y，均有 F(f) o ψ_X = ψ_Y。

圖示 F : J → C 的極限是一個對應於 F 的錐體 (L, φ)，使得對所有其他對應於 F 之錐體 (N, ψ)，總存在一個「唯一的」態射 u : N → L，使得對所有 J 中的 X，φ_X o u = ψ_X。

A universal cone

可以說，錐體 (N, ψ) 能被唯一的因子 u 分解成錐體 (L, φ)。此一態射 u 有時稱為「中介態射」。

極限亦稱之為「泛錐體」，因為其所具有之泛性質（詳見下文）。如同每個泛性質一般，上述定義敘述了一個有關一般性的對稱狀態：極限物件 L 夠一般，能讓所有其他錐體分解；另一方面，L 也必須夠特殊，每個錐體都只可能有「一個」因子。

極限也可視為是在對應於 F 的錐體範疇內的終對象。

圖示可能不存在極限；但若一個圖示存在極限，則此一極限一定是唯一的：在同構下是唯一的。

極限及錐體的對偶概念是上極限及上錐體。雖然可直接將上述定義的所有態射反轉，以得到上極限及上錐體之定義，但下文仍將明確敘明之：

圖示 F : J → C 的「上錐體是指 C 中的一物件 N，具有可以每個 J 中的物件 X 索引的態射族

ψ_X : F(X) → N

使得對每個 J 內的態射 f : X → Y，均有 ψ_Y o F(f)= ψ_X。

圖示 F : J → C 的上極限是 F 的上錐體 (L, ${\displaystyle \phi }$)，使得對所有其他對應於 F 的上錐體 (N, ψ)，總存在一個「唯一的」態射 u : L → N，使得對所有 J 中的 X，u o ${\displaystyle \phi }$_X = ψ_X。

A universal co-cone

上極限也稱為「泛上錐體」，也可視為是在對應於 F 的上錐體範疇內的始對象。

如同極限一般，若圖示 F 存在上極限，則此上極限在同構下是唯一的。

以下固定一個範疇${\displaystyle {\mathcal {C}}}$，並探討其中的極限。為避免集合的悖論，我們將固定一個宇宙${\displaystyle {\mathcal {U}}}$，並假定${\displaystyle {\mathcal {C}}}$是${\displaystyle {\mathcal {U}}}$-範疇，即：對任意兩個對象${\displaystyle X,Y}$，態射集${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(X,Y)}$同構於${\displaystyle {\mathcal {U}}}$裡的某個集合。${\displaystyle \mathbf {Set} }$表所有${\displaystyle {\mathcal {U}}}$裡的集合構成的範疇。

設${\displaystyle I}$為對${\displaystyle {\mathcal {U}}}$的一個小範疇，所謂歸納系統（或稱I-圖）係指一個函子${\displaystyle \alpha :I\rightarrow {\mathcal {C}}}$，射影系統則指一函子${\displaystyle \beta :I^{\mathrm {op} }\rightarrow {\mathcal {C}}}$。

形象地說，歸納系統不外是給定${\displaystyle {\mathcal {C}}}$中一族對象${\displaystyle \{X_{i}:i\in I\}}$，對每個態射${\displaystyle i\rightarrow j}$都有${\displaystyle {\mathcal {C}}}$中對應的態射${\displaystyle X_{i}\rightarrow X_{j}}$，且此對應在態射的合成下不變。射影系統對應的態射則反向：${\displaystyle X_{i}\leftarrow X_{j}}$。

固定一對象${\displaystyle X\in {\mathcal {C}}}$，對任意歸納系統α或射影系統β，可定義從${\displaystyle I^{\mathrm {op} }}$到${\displaystyle \mathbf {Set} }$的函子

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(\alpha ,X):i\mapsto \mathrm {Hom} (\alpha (i),X)}$

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(X,\beta ):i\mapsto \mathrm {Hom} (X,\beta (i))}$

我們將遵循可表函子的哲學，從集合的射影極限出發。暫設${\displaystyle {\mathcal {C}}=\mathbf {Set} }$，${\displaystyle \mathbf {Set} }$上的歸納系統不外是${\displaystyle I}$上的預層。給定一個歸納系統β，定義：

${\displaystyle \varprojlim \beta$ :=\{(x_{i})\in \prod _{i\in I}\beta (i):\forall i,j\in I,s\in \mathrm {Hom} (i,j)\;\beta (s)(x_{j})=x_{i}\}}

（注意：若${\displaystyle I}$是空範疇，對應的射影極限是單元素集合。）

可手工驗證下述自然同構：

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathbf {Set} }(X,\varprojlim \beta ){\stackrel {\sim }{\rightarrow }}\varprojlim \mathrm {Hom} _{\mathbf {Set} }(X,\beta )}$

令${\displaystyle I}$為空範疇，此時的歸納極限與射影極限（若存在）便分別滿足泛性質

${\displaystyle \forall X\in {\mathcal {C}},|\mathrm {Hom} (X,\varprojlim \emptyset )|=|\mathrm {Hom} (\varinjlim \emptyset ,X)|=1}$

這不外就是${\displaystyle {\mathcal {C}}}$裡的始對象與終對象。

令${\displaystyle I}$為離散範疇（即：其間只有恆等態射），此時歸納及射影系統不外只是一族${\displaystyle {\mathcal {C}}}$的對象${\displaystyle \{X_{i}:i\in I\}}$，對應的歸納極限及射影極限稱作餘積（又稱上積）與積。

令${\displaystyle I}$為範疇${\displaystyle \bullet \longleftarrow \bullet \longrightarrow \bullet }$；設${\displaystyle \alpha :I\rightarrow {\mathcal {C}}}$對應於${\displaystyle Y_{1}{\stackrel {f_{1}}{\longleftarrow }}X{\stackrel {f_{2}}{\longrightarrow }}Y_{2}}$。若其歸納極限存在，稱之${\displaystyle Y_{1},Y_{2}}$對${\displaystyle X}$的纖維餘積，寫作${\displaystyle Y_{1}\sqcup _{X}Y_{2}}$。

對偶地看，對於${\displaystyle \beta :I^{\mathrm {op} }\rightarrow {\mathcal {C}}}$，對應於${\displaystyle X_{1}{\stackrel {f_{1}}{\longrightarrow }}Y{\stackrel {f_{2}}{\longleftarrow }}X_{2}}$，若其射影極限存在，稱之${\displaystyle X_{1},X_{2}}$對${\displaystyle Y}$的纖維積，寫作${\displaystyle X_{1}\times _{Y}X_{2}}$。

纖維積與纖維餘積可視為「相對」版本的積與餘積。若存在終對象（或始對象），則積（或餘積）可視為對該對象的纖維積（或纖維餘積）。

核（kernel）與餘核（cokernel，又譯上核），有時也稱等化子（equalizer）與餘等化子（coequalizer）。考慮對應到 ${\displaystyle X_{0}{\overset {f}{\underset {g}{\rightrightarrows }}}X_{1}}$ 的歸納或射影系統，此時的歸納極限${\displaystyle \mathrm {Coker} (f,g)}$稱作上核，射影極限${\displaystyle \mathrm {Ker} (f,g)}$稱作核。它們的泛性質圖解如下：

在加法範疇中僅須考慮${\displaystyle g=0}$的狀況，上述概念遂歸結為同調代數所探討的核與餘核。

設${\displaystyle I,J}$為小範疇，${\displaystyle \alpha :I\times J\rightarrow {\mathcal {C}}}$為歸納系統，則有自然同構

${\displaystyle \varinjlim _{i,j}\alpha (i,j)=\varinjlim _{i}\varinjlim _{j}\alpha (i,j)=\varinjlim _{j}\varinjlim _{i}\alpha (i,j)}$

將箭頭反向，對射影系統${\displaystyle \beta$ :(I\times J)^{\mathrm {op} }=I^{\mathrm {op} }\times J^{\mathrm {op} }\rightarrow {\mathcal {C}}} 亦有自然同構

${\displaystyle \varprojlim _{i,j}\beta (i,j)=\varprojlim _{i}\varprojlim _{j}\beta (i,j)=\varprojlim _{j}\varprojlim _{i}\beta (i,j)}$

歸納極限與射影極限通常不交換，一個格外有用的結果是：若${\displaystyle I}$是濾通範疇，則${\displaystyle \varinjlim _{I}}$與任意${\displaystyle \varprojlim _{J}}$交換。

若一個範疇內存在任意的（小）射影極限，則稱之完備範疇；完備的充要條件是存在任意的積與核。

將箭頭反向，遂得到上完備範疇的定義及其充要條件。

考慮一個函子${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {C'}}}$。

• 若${\displaystyle {\mathcal {C}}}$裡存在任意的有限射影極限，且${\displaystyle F}$與有限射影極限交換，則稱${\displaystyle F}$為左正合。
• 若${\displaystyle {\mathcal {C}}}$裡存在任意的有限歸納極限，且${\displaystyle F}$與有限歸納極限交換，則稱${\displaystyle F}$為右正合。
• 若上述條件同時被滿足，則稱${\displaystyle F}$為正合。

在阿貝爾範疇中，上述定義回歸到同調代數中的定義。

根據極限的泛性質，${\displaystyle \mathrm {Hom} (-,-)}$函子無論對哪個變數都是左正合的。

設${\displaystyle (F,G)}$是一對伴隨函子。若${\displaystyle {\mathcal {C}}}$存在任意有限歸納極限，則${\displaystyle F}$右正合；若存在任意有限射影極限，${\displaystyle G}$左正合。此法可建立許多函子的正合性。

• 定義中已構造集合的（小）射影極限。對於任意一個小範疇${\displaystyle I}$及歸納系統${\displaystyle \alpha :I\rightarrow \mathbf {Set} }$，其歸納極限亦存在，定義為下述商集：

${\displaystyle \varinjlim \alpha$ :={\dfrac {\coprod _{i\in I}\alpha (i)}{(\exists i_{1}\rightarrow \cdots \rightarrow i_{n},x\in \alpha (i_{1})\mapsto \cdots \mapsto y\in \alpha (i_{n}))\Rightarrow (x\sim y)}}}

• 兩個集合的纖維積與上積為

${\displaystyle Y_{1}\sqcup _{X}Y_{2}=Y_{1}\sqcup Y_{2}/\{f_{1}(y_{1})=f_{2}(y_{2})\Rightarrow x_{1}\sim x_{2}~\}}$

${\displaystyle X_{1}\times _{Y}X_{2}=\{(x_{1},x_{2})\in X_{1}\times X_{2}:f(x_{1})=f(x_{2})\}}$

• 設${\displaystyle f,g:X_{0}\rightarrow X_{1}}$，則

${\displaystyle \mathrm {Ker} (f,g)=\{x_{0}\in X_{0}:f(x_{0})=g(x_{0})\}}$，這是「等化」一詞的來由。

${\displaystyle \mathrm {Coker} (f,g)=X_{1}/\{\forall x_{0}\in X_{0},f(x_{0})\sim g(x_{0})\}}$

• ${\displaystyle \mathbf {Set} }$是完備且上完備的。

拓撲空間範疇${\displaystyle \mathbf {Top} }$也是完備且上完備的。各種極限構造與集合相同，惟須安上適合的商拓撲或子空間的誘導拓撲。

特別是可以構造一族無窮多個拓撲空間的極限及逆極限，此時相應的拓撲稱作始拓撲或終拓撲。此類構造在泛函分析及同倫理論中特別有用。

一個拓撲空間${\displaystyle X}$滿足豪斯多夫性質的充要條件是${\displaystyle p_{1},p_{2}:X\times X\rightarrow X}$的核${\displaystyle \Delta :X\rightarrow X\times X}$是閉浸入，將此性質推廣到概形上，則得到分離概形。

概形範疇${\displaystyle \mathbf {Sch} }$（或相對版本${\displaystyle \mathbf {Sch} _{/S}}$）有終對象${\displaystyle \mathrm {Spec} \mathbb {Z} }$（或${\displaystyle S}$），並存在有限的纖維積。

阿貝爾群範疇${\displaystyle \mathbf {Ab} }$或一個環${\displaystyle R}$上的模範疇${\displaystyle \mathbf {Mod} _{R}}$都是完備且上完備的。函子的正合性對應到交換代數裡的正合性概念。

射影極限的一個典型例子是p進整數：${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}:=\varprojlim _{n}\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$。