正定函數

一個實值、連續可微的函數f在原點附近的區域D為正定函數的條件是

• ${\displaystyle f(0)=0}$
• ${\displaystyle f(x)>0}$ 對於所有不為零的${\displaystyle x\in D}$[1][2]

若上式中的不等式改為小於，則函數f為負定函數。若以上不等式改為 ${\displaystyle \geq }$ 或 ${\displaystyle \leq }$，則函數f為半正定函數或半負定函數。

令${\displaystyle \mathbb {R} }$是實數集合，${\displaystyle \mathbb {C} }$為複數集合。

函數${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} }$稱為半正定若針對任意實數x₁, …, x_n the n × n 矩陣

${\displaystyle A=\left(a_{ij}\right)_{i,j=1}^{n}~,\quad a_{ij}=f(x_{i}-x_{j})}$

為半正定矩陣。

依照定義，半正定矩陣（像是${\displaystyle A}$）會是埃尔米特矩阵，因此f(−x)是f(x))的共轭复数。 若上述的不等號方向相反，函數則為半負定函數，若不等號改為大於或小於，函數則為正定函數或是負定函數。

• Z. Sasvári, Positive Definite and Definitizable Functions, Akademie Verlag, 1994

1. Verhulst, Ferdinand. 2nd. Springer. 1996. ISBN 3-540-60934-2.
2. Hahn, Wolfgang. . Springer. 1967.