正规序

单个玻色子有一个产生算符和一个湮灭算符：

• ${\displaystyle {\hat {b}}^{\dagger }}$：玻色子的产生算符
• ${\displaystyle {\hat {b}}}$：玻色子的湮灭算符

则有：

${\displaystyle \left[{\hat {b}}^{\dagger },{\hat {b}}^{\dagger }\right]_{-}=0}$

${\displaystyle \left[{\hat {b}},{\hat {b}}\right]_{-}=0}$

${\displaystyle \left[{\hat {b}},{\hat {b}}^{\dagger }\right]_{-}=1}$

其中 ${\displaystyle \left[A,B\right]_{-}\equiv AB-BA}$ 表示两个算符的对易子。

1. 最简单的例子是 ${\displaystyle {\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}}$ 的正规序，根据正规序的定义，可见这里的算符已经按照正规序排列，所以${\displaystyle {\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}}$的正规序就是它自身：

${\displaystyle {:\,}{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}{\,:}={\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}.}$

2. 第二个例子是 ${\displaystyle {\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }}$ 的正规序，

${\displaystyle {:\,}{\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }{\,:}={\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}.}$

这里，按照正规序的要求，产生算符 ${\displaystyle {\hat {b}}^{\dagger }}$ 放到了湮灭算符 ${\displaystyle {\hat {b}}}$的左边。由玻色子算符的对易关系有：

${\displaystyle {\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }-{:\,}{\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }{\,:}=1.}$

在维克定理中，两个产生或湮灭算符的乘积与它们的正规序之间的差，称为这两个算符的收缩。

3. 一个多算符的例子：

${\displaystyle {:\,}{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}{\,:}={\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}=({\hat {b}}^{\dagger })^{3}\,{\hat {b}}^{4}.}$

对于 ${\displaystyle N}$ 个不同的玻色子来说，有 ${\displaystyle 2N}$ 个算符：

• ${\displaystyle {\hat {b}}_{i}^{\dagger }}$：第 ${\displaystyle i}$ 个玻色子的产生算符
• ${\displaystyle {\hat {b}}_{i}}$：第 ${\displaystyle i}$ 个玻色子的湮灭算符

其中 ${\displaystyle i=1,\ldots ,N}$.

它们满足下列对易关系：

${\displaystyle \left[{\hat {b}}_{i}^{\dagger },{\hat {b}}_{j}^{\dagger }\right]_{-}=0}$

${\displaystyle \left[{\hat {b}}_{i},{\hat {b}}_{j}\right]_{-}=0}$

${\displaystyle \left[{\hat {b}}_{i},{\hat {b}}_{j}^{\dagger }\right]_{-}=\delta _{ij}}$

其中 ${\displaystyle i,j=1,\ldots ,N}$，${\displaystyle \delta _{ij}}$ 是克罗内克函数。

1.对于两个玻色子 (${\displaystyle N=2}$) ，有：

${\displaystyle$ :{\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{2}:\,={\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{2}}

${\displaystyle$ :{\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{1}^{\dagger }:\,={\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{2}}

2. 对三个玻色子 (${\displaystyle N=3}$) ，有：

${\displaystyle$ :{\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{3}:\,={\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{3}}

由于 ${\displaystyle {\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{3}={\hat {b}}_{3}\,{\hat {b}}_{2}}$ （参见对易关系），湮灭算符之间的顺序并不重要。

单个费米子有一个产生算符和一个湮灭算符：

• ${\displaystyle {\hat {f}}^{\dagger }}$：费米子的产生算符
• ${\displaystyle {\hat {f}}}$：费米子的湮灭算符

它们满足下面的反对易关系：

${\displaystyle \left[{\hat {f}}^{\dagger },{\hat {f}}^{\dagger }\right]_{+}=0}$

${\displaystyle \left[{\hat {f}},{\hat {f}}\right]_{+}=0}$

${\displaystyle \left[{\hat {f}},{\hat {f}}^{\dagger }\right]_{+}=1}$

其中 ${\displaystyle \left[A,B\right]_{+}\equiv AB+BA}$ 是反对易子。

与玻色子不同的是，对于费米子的正规序，每当重新排序引起两个算符的前后顺序发生变化时，需要额外引入一个负号。

1. 最简单的例子是：

${\displaystyle$ :{\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}:\,={\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}}

由于算符已经按正规序排列，所以其正规序就是它本身。反过来，若是产生算符排列在后面，则如前文所说，其正规序需要引入一个负号，即：

${\displaystyle$ :{\hat {f}}\,{\hat {f}}^{\dagger }:\,=-{\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}}

由费米子算符的反对易关系有：

${\displaystyle {\hat {f}}\,{\hat {f}}^{\dagger }-:{\hat {f}}\,{\hat {f}}^{\dagger }:=1.}$

与玻色子的情形一样，上式用于定义维克定理里面的收缩。

2. 其它情形下的正规序都是零，因为此时同一个湮灭算符或产生算符至少连续出现了两次。根据费米子的性质，此时结果为零，例如：

${\displaystyle$ :{\hat {f}}\,{\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}{\hat {f}}^{\dagger }:\,={\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}\,{\hat {f}}=0}

${\displaystyle N}$ 个费米子有 ${\displaystyle 2N}$ 个产生湮灭算符，设：

• ${\displaystyle {\hat {f}}_{i}^{\dagger }}$为第 ${\displaystyle i}$ 个费米子的产生算符
• ${\displaystyle {\hat {f}}_{i}}$为第 ${\displaystyle i}$个费米子的湮灭算符

其中 ${\displaystyle i=1,\ldots ,N}$.

它们满足下列反对易关系：

${\displaystyle \left[{\hat {f}}_{i}^{\dagger },{\hat {f}}_{j}^{\dagger }\right]_{+}=0}$

${\displaystyle \left[{\hat {f}}_{i},{\hat {f}}_{j}\right]_{+}=0}$

${\displaystyle \left[{\hat {f}}_{i},{\hat {f}}_{j}^{\dagger }\right]_{+}=\delta _{ij}}$

其中 ${\displaystyle i,j=1,\ldots ,N}$， ${\displaystyle \delta _{ij}}$ 是克罗内克函数。

1. 对两个费米子 (${\displaystyle N=2}$) ，有：

${\displaystyle$ :{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}:\,={\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}}

由于算符已经按正规序排列，所以其正规序就是它本身。

${\displaystyle$ :{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }:\,=-{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}}

由于两个算符的顺序发生了交换，所以要引入一个负号。

${\displaystyle$ :{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}^{\dagger }:\,={\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}=-{\hat {f}}_{2}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}}

与玻色子的情形不同，此时产生算符之间的顺序是有关系的。

2. 对三个费米子 (${\displaystyle N=3}$) ，有：

${\displaystyle$ :{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{3}:\,={\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{3}=-{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{3}\,{\hat {f}}_{2}}

类似地有：

${\displaystyle$ :{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{3}:\,=-{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{3}={\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{3}\,{\hat {f}}_{2}}

${\displaystyle$ :{\hat {f}}_{3}{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }:\,={\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{3}\,{\hat {f}}_{2}=-{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{3}}