比例論

畢達哥拉斯學派發現了不可通約數（無理數）${\displaystyle {\sqrt[{}]{2}}}$，這破壞了他們的比例論[1]：

如果兩個物體的比例是相同的，以數學式來表示，是一個等比關係 ${\displaystyle a:b=c:d}$。其中，${\displaystyle a,b,c,d}$ 是正整數。而且，存在一個正整數 ${\displaystyle n}$ 使得 ${\displaystyle a=nc}$ 與 ${\displaystyle b=nd}$。

無理數的存在，表示物體的比例可能無法以正整數來表示，這破壞了他們以正整數來描述自然規律的哲學。

為了挽救比例論，尤得塞斯提出了以幾何量為基礎的比例論，被歐幾里得收錄在《幾何原本》的第五冊中。其中的第五條定義是其比例論的核心：

${\displaystyle a:b=c:d}$ 若且唯若底下三個等式關係成立：

${\displaystyle ma<nb\implies mc<nd}$

${\displaystyle ma=nb\implies mc=nd}$

${\displaystyle ma>nb\implies mc>nd}$

其中 ${\displaystyle m,n}$ 為正整數（幾何量的整倍數）。

這個定義迴避了數系的規範，因此，即使 ${\displaystyle a,b,c,d}$ 是無理數，等比關係也可以成立。