水平集方法

水平集方法示例

理解水平集方法的最简单有效地方式是先学习相应的例子，然后学习技术性很强的定义.右侧的图片示例了水平集的几个重要思想.在左上角有一个形状--由一个良性边界包围的有界区域.在它的下面，红色的曲面是相应的水平集函数${\displaystyle \varphi }$的图像, ${\displaystyle \varphi }$的某个水平面决定了左上角的形状，假设其中的蓝色平面即为x-y平面，则形状的边界可以表示为${\displaystyle \varphi }$的零水平集，并且该形状是平面上满足${\displaystyle \varphi }$大于等于零的点的集合.

在上面的一行，形状改变其拓扑结构，分裂为两个形状.如果用边界曲线参数表示形状，这一演化过程是很难表达的.这需要一个算法能够检测到形状分裂的时刻，然后为分裂后的曲线构造新的参数.另一方面，从下面的一行可以看出水平集函数仅仅是向下方移动了一点.由于在直接法中我们需要监视所有形状可能发生的变化情况，水平集方法处理形状曲线要比直接方法容易得多.

在二维情况下，水平集方法意味着将平面上的闭曲线${\displaystyle \Gamma }$ (正如示例中的形状)表示为二维辅助函数${\displaystyle \varphi }$,的零水平集

${\displaystyle \Gamma =\{(x,y)|\,\varphi (x,y)=0\},\,}$

然后通过函数${\displaystyle \varphi }$ 隐式的处理曲线${\displaystyle \Gamma }$.这一函数便被叫做水平集函数.假设${\displaystyle \varphi }$在曲线${\displaystyle \Gamma }$的内部取正值，在曲线${\displaystyle \Gamma }$的外部取负值. [2][3]

如果零水平集以速度v沿着其法线运动，这一运动可以表示为水平集函数的哈密頓-雅可比方程（Hamilton-Jacobi equation）:

${\displaystyle \varphi _{t}=v|\nabla \varphi |.}$

这是一个偏微分方程，并且可以求得数值解，例如可以在笛卡尔网格上采用有限差分法.

然而，水平集方程的数值解需要复杂的技术.简单的有限差分法会很快导致不收敛. 迎风方法，诸如Godunov方法前进缓慢;然而在水平对流场中，水平集方法不保持水平集的体积和形状的守恒.

美国数学家Stanley Osher和James Sethian于20世纪80年代开发出了水平集方法.这一方法在许多学科广泛使用，例如图像处理，计算几何，最优化和计算流体力学.

大量的有关水平集数据结构被开发出来，使得水平集方法在计算中的应用变得更加方便.

• 流体体积法
• LSM/J Level set method for drawing dynamical plane
• LSM/M Level set method for drawing parameter plane