沃爾什函數

我們定義沃爾什函數的序列 ${\displaystyle W_{k}:[0,1]\rightarrow \{-1,1\}}$, ${\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}$如下:

對於任何 ${\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}$, ${\displaystyle x\in [0,1]}$ 令:

${\displaystyle k=\sum _{j=0}^{\infty }k_{j}2^{j},k_{j}\in \{0,1\}}$,   ${\displaystyle x=\sum _{j=1}^{\infty }x_{j}2^{-j},x_{j}\in \{0,1\}}$

使得只有有限多個非零的 k_j 和 x_j 等於 1, 也分別是整數 k 和實數 x的 二進位 表示。 根據定義

${\displaystyle W_{k}(x)=(-1)^{\sum _{j=0}^{\infty }k_{j}x_{j+1}}}$

特別得，${\displaystyle W_{0}(x)=1}$ 對於所有範圍內的 x 都成立。

注意到 ${\displaystyle W_{2^{m}}}$ 正好是拉德马赫函數 r_m。 因此拉德马赫系統是沃爾什系統的一個子集合。 另外，每一個沃爾什函數都能透過拉德马赫函數的乘積得到。

${\displaystyle W_{k}(x)=\prod _{j=0}^{\infty }r_{j}(x)^{k_{j}}}$

• 沃爾什函數是片段常數，

證明:

考慮

${\displaystyle k=\sum _{j=0}^{a}k_{j}2^{j},k_{j}\in \{0,1\}}$,

${\displaystyle x=\sum _{j=1}^{\infty }x_{j}2^{-j},x_{j}\in \{0,1\}}$

${\displaystyle y=\sum _{j=1}^{\infty }y_{j}2^{-j},y_{j}\in \{0,1\}}$

${\displaystyle W_{k}(x)=(-1)^{\sum _{j=0}^{a}k_{j}x_{j+1}}}$

考慮 ${\displaystyle x,y\in [r2^{-a},(r+1)2^{-a})}$

只要對於 j ≤ a， ${\displaystyle x_{j}=y_{j}}$

${\displaystyle W_{k}(x)=(-1)^{\sum _{j=0}^{a}k_{j}x_{j+1}}=(-1)^{\sum _{j=0}^{a}k_{j}y_{j+1}}=W_{k}(y)}$

因此 ${\displaystyle W_{k}(x)}$ 在 ${\displaystyle [r2^{-a},(r+1)2^{-a})}$ 中是常數。

• 沃爾什系統是一個 希尔伯特空间${\displaystyle L^{2}[0,1]}$的標準正交基，標準正交的定義如下:

${\displaystyle \int _{0}^{1}W_{k}(x)W_{l}(x)dx=\delta _{kl}}$,

證明:

當 k= l, ${\displaystyle \int _{0}^{1}W_{k}(x)W_{l}(x)dx=\int _{0}^{1}1dx=1}$

當 k ≠ l,

${\displaystyle k=\sum _{j=0}^{a}k_{j}2^{j},k_{j}\in \{0,1\}}$,

${\displaystyle l=\sum _{j=0}^{b}l_{j}2^{j},l_{j}\in \{0,1\}}$,

不失一般性，令 a ≥ b，

${\displaystyle \int _{0}^{1}W_{k}(x)W_{l}(x)dx}$

${\displaystyle =2^{-a}\sum _{r=0}^{2^{a}-1}W_{k}(r2^{-a})W_{l}(r2^{-a})}$

${\displaystyle =2^{-a}\prod _{i=0}^{a-1}{1/2\sum _{r_{a-i-i}=0}^{1}{(-1)^{(k_{i}+l_{i})r_{a-1-i}}}}}$

因為 k ≠ l ，一定存在 i 使得 ${\displaystyle k_{i}}$ ≠ ${\displaystyle l_{i}}$，假設 ${\displaystyle k_{i_{0}}}$ ≠ ${\displaystyle l_{i_{0}}}$，

那麼 ${\displaystyle k_{i_{0}}+l_{i_{0}}=1}$，那麼

${\displaystyle 2^{-a}\prod _{i=0}^{a-1}{1/2\sum _{r_{a-i-i}=0}^{1}{(-1)^{(k_{i}+l_{i})r_{a-1-i}}}}=0}$

因此得到 ${\displaystyle \int _{0}^{1}W_{k}(x)W_{l}(x)dx=0}$ 對於 k ≠ l。 Q.E.D.

而基的定義是, 對於所有的 ${\displaystyle f\in L^{2}[0,1]}$, 我們讓 ${\displaystyle f_{k}=\int _{0}^{1}f(x)W_{k}(x)dx}$ 那麼

${\displaystyle \int _{0}^{1}(f(x)-\sum _{k=0}^{N}f_{k}W_{k}(x))^{2}dx{\xrightarrow[{N\rightarrow \infty }]{}}0}$

對於所有的 ${\displaystyle f\in L^{2}[0,1]}$, 序列 ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }f_{k}W_{k}(x)}$ 收斂到 ${\displaystyle f(x)}$ 對於幾乎所有的 ${\displaystyle x\in [0,1]}$.

• 沃爾什函數 都有種對稱性，一定是偶函數或者奇函數。

• 沃爾什系統(Walsh-Paley) 會形成一個 Schauder basis 在${\displaystyle L^{p}[0,1]}$,   ${\displaystyle 1<p<\infty }$。注意到，與 Haar system不同，而與三角波系統相似，這個基並不是unconditional，他在${\displaystyle L^{1}[0,1]}$中也不是一個 Schauder basis。

• 沃爾什系統${\displaystyle \{W_{k}\},k\in \mathbb {N} _{0}}$是一個連續離散的群組和 ${\displaystyle \coprod _{n=0}^{\infty }\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ 同構，

費米子 沃爾什系統是一個以"量子"版本的沃爾什系統。與後者不同，他包含了運算操作，而非函式。然而，兩種系統有許多相同的重要功能，像是都是一個希尔伯特空间的標準正交基，或是在相對應空間的 Schauder basis。在費米子沃爾什系統的元素被稱做 "沃爾什操作元"。

• 二點阿達瑪矩陣：

${\displaystyle {\boldsymbol {W_{2}}}={\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}}$

• 四點阿達瑪矩陣：

${\displaystyle {\boldsymbol {W_{4}}}={\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\\1&-1&1&-1\end{bmatrix}}}$

• 八點阿達瑪矩陣：

${\displaystyle {\boldsymbol {W_{8}}}={\begin{bmatrix}1&1&1&1&1&1&1&1\\1&1&1&1&-1&-1&-1&-1\\1&1&-1&-1&-1&-1&1&1\\1&1&-1&-1&1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1&1&-1&-1&1\\1&-1&-1&1&-1&1&1&-1\\1&-1&1&-1&-1&1&-1&1\\1&-1&1&-1&1&-1&1&-1\end{bmatrix}}.}$

這些阿達瑪轉換的矩陣，其中每一行，都是一個沃爾什函數。

而阿達瑪轉換式子如下:

${\displaystyle F[m]=\sum _{n=0}^{N-1}f[n]W[m,n]}$

而得到阿達瑪矩陣的方法如下:

Step 1 定義${\displaystyle V_{2^{k+1}}={\begin{pmatrix}W_{2^{k}}&W_{2^{k}}\\W_{2^{k}}&-W_{2^{k}}\\\end{pmatrix}}}$

Step 2 根據變號次數的奇偶性把${\displaystyle V_{2^{k+1}}}$轉換成為${\displaystyle W_{2^{k+1}}}$

沃爾什函數和正餘弦函數的比較，也可以看成沃爾什轉換和傅立葉轉換的比較:

• 在數學上的應用，可以再任何需要數字表示的時候使用，如沃爾什轉換。另外，也存在一個快速沃爾什轉換，和沃爾什轉換相比會有更高的效率。一些沃爾什轉換的應用如下:
  • 帶寬降低 (Bandwidth reduction) 。
    • 在微處理器的硬體限制之下，沃爾什轉換能夠代替傅立葉轉換執行帶寬降低的功能。
  • CDMA (Code division multiple access)。
    • 舉例而言，如果要把 [1 0 1] 和 [0 1 1] 要傳輸，可以選兩個沃爾什函數，如[1,1,1,1,1,1,1,1] 和 [1,1,1,1,-1,-1,-1,-1]
    • 1. 把 0轉成 -1， [1 0 1] 看作 [1 -1 1]，[0 1 1] 看作 [-1 1 1]
    • 2. [1 -1 1] 通過第一個沃爾什函數 成為 [1,1,1,1,1,1,1,1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,1,1,1,1,1,1,1,1]
    • 3. [-1 1 1] 通過第二個沃爾什函數 成為 [-1,-1,-1,-1,1,1,1,1,1,1,1,1,-1,-1,-1,-1,1,1,1,1,-1,-1,-1,-1]
    • 4. 把上面兩者相加，成為 [0,0,0,0,2,2,2,2,0,0,0,0,-2,-2,-2,-2,2,2,2,2,0,0,0,0]。
    • 5. 解調時，把 [0,0,0,0,2,2,2,2,0,0,0,0,-2,-2,-2,-2,2,2,2,2,0,0,0,0] 和 第一個沃爾什函數分三段內積，得到[8,-8,8]，得知第一個訊號是 [1 0 1]
    • 6. 解調時，把 [0,0,0,0,2,2,2,2,0,0,0,0,-2,-2,-2,-2,2,2,2,2,0,0,0,0] 和 第二個沃爾什函數分三段內積，得到[-8,8,8]，得知第二個訊號是 [0 1 1]
  • 資訊編碼 (Information coding)。
  • 特徵識別 (Feature extraction)。
    • 沃爾什函數的對稱性使得他很適合拿來抽取一些幾何的規律。
    • 摺積(convolution)在CNN中被拿來抽取圖形的資訊有很好的效果，而相類似的沃爾什函數也有不錯的效果。
  • 心電圖分析 (ECG signal analysis in medical signal processing)。
    • 利用沃爾什函數的快速轉換能夠壓縮ECG訊號，隨著沃爾什函數係數的減少，壓縮率也會提高。
  • 頻率調整 (frequency modulation)
  • 形狀分析 (shape analysis)。

• 沃爾什函數還被應用在雷達天文上來緩解不同天線訊號電子串擾的問題。這些在被動LCD的平面中，可以使得不同的傳輸訊號的相關性最低。

• 沃爾什轉換
• 阿達馬矩陣
• 阿達馬變換
• Exclusive or
• Joseph L. Walsh

• Walsh functions at MathWorld （页面存档备份，存于）
• Walsh functions at Stanford Exploration Project （页面存档备份，存于）
• Walsh functions I. Orthonormality and completeness （页面存档备份，存于）

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