泊松求和公式

泊松求和公式（英文：）由法國數學家泊松所發現，它陳述了一個連續時間的信號，做無限多次的週期複製後，其傅立葉級數與其傅立葉轉換之間數值的關係，亦可用來求周期信號的傅立葉轉換。

公式

设无周期函数 $s(x)$ 具有傅里叶变换：

S(f)\triangleq \int _{-\infty }^{\infty }s(x)\ e^{-i2\pi fx}\,dx

这里的 $S(f)$ 也可以替代表示为 ${\hat {s}}(f)$ 和 ${\mathcal {F}}\{s\}(f)$ 。有如下基本的泊松求和公式：

\sum _{n=-\infty }^{\infty }s(n)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }S(k)

对于二者通过周期求和而得到的周期函数：

s_{_{P}}(x)\triangleq \sum _{n=-\infty }^{\infty }s(x+nP),\quad n\in \mathbb {Z}

S_{1/T}(f)\triangleq \sum _{k=-\infty }^{\infty }S(f+k/T),\quad k,T\in \mathbb {Z}

这里的参数 $T>0$ 并且 $P>0$ ，它们有着同 $x$ 一样的单位。有如下普遍的泊松求和公式[1][2]：

s_{_{P}}(x)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\underbrace {{\frac {1}{P}}\cdot S(k/P)} _{S[k]}\ e^{i2\pi {\frac {k}{P}}x},\quad k\in \mathbb {Z}

这是一个傅里叶级数展开，其系数是函数 $S(f)$ 的采样。还有：

S_{1/T}(f)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\underbrace {T\cdot s(nT)} _{s[n]}\ e^{-i2\pi nTf},\quad n,T\in \mathbb {Z}

这也叫做离散时间傅里叶变换。

推導泊松求和公式所需的先備公式

考慮狄拉克δ函數 $\delta (t)$ ，製作一個有無限多個 $\delta (t)$ ，且間隔為 $T_{0}$ 的週期函數 $\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT_{0})$ 。

其傅立葉轉換為① $\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-j2\pi nT_{0}f}=$ ② ${\frac {1}{T_{0}}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta \left(f-{\frac {n}{T_{0}}}\right)$

證明①轉換對

${\mathcal {F}}\left\{\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT_{0})\right\}$ = $\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\mathcal {F}}\left\{\delta (t-nT_{0})\right\}$ = $\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-j2\pi nT_{0}f}$ 。

證明②轉換對

設 $c_{n}$ 為週期函數 $\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT_{0})$ 的傅立葉級數。

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT_{0})$ 可表示為 $\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}{e^{j2\pi {n{\frac {t}{T_{0}}}}}}$ 。

由傅立葉級數得:

$c_{n}={\frac {1}{T_{0}}}\int _{-{\frac {T_{0}}{2}}}^{\frac {T_{0}}{2}}\sum _{m=-\infty }^{\infty }\delta (t-mT_{0})e^{-j2\pi {n}{\frac {t}{T_{0}}}}dt={\frac {1}{T_{0}}}\int _{-{\frac {T_{0}}{2}}}^{\frac {T_{0}}{2}}\delta (t)e^{-j2\pi {n}{\frac {t}{T_{0}}}}dt={\frac {1}{T_{0}}}\int _{-{\frac {T_{0}}{2}}}^{\frac {T_{0}}{2}}\delta (t)e^{-j2\pi {n}{\frac {0}{T_{0}}}}dt={\frac {1}{T_{0}}}$ 。

因此， ${\mathcal {F}}\left\{\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT_{0})\right\}={\mathcal {F}}\left\{\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}{e^{j2\pi {n{\frac {t}{T_{0}}}}}}\right\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{T_{0}}}{\mathcal {F}}\left\{e^{j2\pi {n{\frac {t}{T_{0}}}}}\right\}={\frac {1}{T_{0}}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (f-n{\frac {1}{T_{0}}})$ 。

得到等式: $\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-j2\pi nT_{0}f}=$ ${\frac {1}{T_{0}}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta \left(f-{\frac {n}{T_{0}}}\right)$ ，

經由適當的變量代換， $T_{0}$ 以 ${\frac {1}{T_{0}}}$ 代換， $f$ 以 $t$ 代換，得 $\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta \left(t-nT_{0}\right)={\frac {1}{T_{0}}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-j2\pi n{\frac {1}{T_{0}}}t}={\frac {1}{T_{0}}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{j2\pi n{\frac {1}{T_{0}}}t}$ (因為n從負無限大到正無限大)

推導泊松求和公式

從對頻域做取樣尋找關係式

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(t-nT_{0})$

$=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(t)*\delta (t-nT_{0})$

$=x(t)*\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT_{0})$

$=x(t)*{\frac {1}{T_{0}}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{j2\pi n{\frac {1}{T_{0}}}t}$

$={\frac {1}{T_{0}}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(t)*e^{j2\pi n{\frac {1}{T_{0}}}t}$

$={\frac {1}{T_{0}}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )e^{j2\pi n{\frac {1}{T_{0}}}(t-\tau )}d\tau$

$={\frac {1}{T_{0}}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left\{[\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )e^{-j2\pi n{\frac {1}{T_{0}}}\tau }d\tau ]e^{j2\pi n{\frac {1}{T_{0}}}t}\right\}$

$={\frac {1}{T_{0}}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }X({\frac {n}{T_{0}}})e^{j2\pi n{\frac {1}{T_{0}}}t}$

當 $t=0$ 時，得 $\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT_{0})={\frac {1}{T_{0}}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }X({\frac {n}{T_{0}}})$ ，

表示一個信號的在時域以 $T_{0}$ 為間隔做取樣，在頻域以 ${\frac {1}{T_{0}}}$ 為間隔做取樣，則兩者的所有取樣點的總和會有 $T_{0}$ 倍的關係。

從對時域做取樣尋找關係式

${\frac {1}{T_{0}}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }X(f-{\frac {n}{T_{0}}})$

$={\frac {1}{T_{0}}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }X(f)*\delta (f-{\frac {n}{T_{0}}})$

$=X(f)*[{\frac {1}{T_{0}}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (f-{\frac {n}{T_{0}}})]$

$=X(f)*\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-j2\pi nT_{0}f}$

$=\sum _{n=-\infty }^{\infty }X(f)*e^{-j2\pi nT_{0}f}$

$=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }X(\lambda )e^{-j2\pi nT_{0}(f-\lambda )}d\lambda$

$=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left\{[\int _{-\infty }^{\infty }X(\lambda )e^{j2\pi nT_{0}\lambda }d\lambda ]e^{-j2\pi nT_{0}f}\right\}$

$=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT_{0})e^{-j2\pi nT_{0}f}$

當 $f=0$ 時，得 ${\frac {1}{T_{0}}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }X({\frac {n}{T_{0}}})=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT_{0})$ ，

表示一個信號的在時域以 $T_{0}$ 為間隔做取樣，在頻域以 ${\frac {1}{T_{0}}}$ 為間隔做取樣，則兩者的所有取樣點的總和會有 $T_{0}$ 倍的關係。

綜合上述，若時域取樣間隔 $T_{0}=1$ 時，同樣地，頻域取樣間隔 ${\frac {1}{T_{0}}}=1$ 時，得泊松求和公式 $\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }X(k)$ 。

週期信號的傅立葉轉換

考慮一個週期為 ${T_{0}}$ 的週期信號 $g(t)$ ， $G(f)$ 為 $g(t)$ 的傅立葉轉換，取出g(t)在區間 $[-{\frac {T_{0}}{2}},{\frac {T_{0}}{2}}]$ 的一個完整週期 $x(t)$ ，亦即 $x(t)=g(t)rect({\frac {t}{T_{0}}})$ ， $X(f)$ 是 $x(t)$ 的傅立葉轉換，其中 $rect(t)$ 是矩形函數。 $a_{n}$ 是 $g(t)$ 的傅立葉級數。

則 $G(f)$

$={\mathcal {F}}\left\{\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}e^{j2\pi n{\frac {1}{T_{0}}}t}\right\}$

$=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}\delta (f-{\frac {n}{T_{0}}})$

$=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{T_{0}}}X({\frac {n}{T_{0}}})\delta (f-{\frac {n}{T_{0}}})$

得出一週期信號的傅立葉轉換與其傅立葉級數之間的關係。

引用

Pinsky, M., , Brooks Cole, 2002, ISBN 978-0-534-37660-4
Zygmund, Antoni, 2nd, Cambridge University Press, 19681988, ISBN 978-0-521-35885-9

延伸阅读

Benedetto, J.J.; Zimmermann, G., , J. Fourier Ana. App., 1997, 3 (5) [2008-06-19], （原始内容存档于2011-05-24）
Gasquet, Claude; Witomski, Patrick, , Springer: 344–352, 1999, ISBN 0-387-98485-2
Higgins, J.R., , Bull. Amer. Math. Soc., 1985, 12 (1): 45–89 [2023-10-30], doi:10.1090/S0273-0979-1985-15293-0 , （原始内容存档于2020-08-12）

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[Pinsky-1] Pinsky, M., , Brooks Cole, 2002, ISBN 978-0-534-37660-4

[Zygmund-2] Zygmund, Antoni, 2nd, Cambridge University Press, 19681988, ISBN 978-0-521-35885-9