法图引理

设${\displaystyle (S,\Sigma ,\mu )}$为一个测度空间， ${\displaystyle (f_{n})_{n\geq 0}}$是一个实值的可测正值函数列。那么：

${\displaystyle \int _{S}\liminf _{n\to \infty }f_{n}\,d\mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu \,.}$

其中的函数极限是在逐点收敛的意义上的极限，函数的取值和积分可以是无穷大。

定理的证明基于单调收敛定理（非常容易证明）。设${\displaystyle f}$为函数列${\displaystyle (f_{n})_{n\geq 0}}$ 的下极限。对每个正整数${\displaystyle k}$，逐点定义下极限函数：

${\displaystyle g_{k}=\inf _{n\geq k}f_{n}.}$

于是函数列${\displaystyle g_{1},g_{2},\ldots }$单调递增并趋于${\displaystyle f}$ 。

任意${\displaystyle k\leq n}$，我们有${\displaystyle g_{k}\leq f_{n}}$，因此

${\displaystyle \int _{S}g_{k}\,d\mu \leq \int _{S}f_{n}\,d\mu ,}$

于是

${\displaystyle \int _{S}g_{k}\,d\mu \leq \inf _{n\geq k}\int _{S}f_{n}\,d\mu .}$

据此，由单调收敛定理以及下极限的定义，就有：

${\displaystyle \int _{S}\liminf _{n\to \infty }f_{n}\,d\mu =\lim _{k\to \infty }\int _{S}g_{k}\,d\mu \leq \lim _{k\to \infty }\inf _{n\geq k}\int _{S}f_{n}\,d\mu =\liminf _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu \,.}$

令${\displaystyle (f_{n})}$为测度空间${\displaystyle (S,\Sigma ,\mu )}$中的一列可测函数，函数的值域为扩展实数（包括无穷大）。如果存在一个在 ${\displaystyle S}$上可积的正值函数${\displaystyle g}$，使得对所有的${\displaystyle n}$都有${\displaystyle f_{n}\leq g}$，那么

${\displaystyle \int _{S}\limsup _{n\to \infty }f_{n}\,d\mu \geq \limsup _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu .}$

这里${\displaystyle g}$只需弱可积，即${\displaystyle \textstyle \int _{S}g\,d\mu <\infty }$。

证明：对函数列${\displaystyle (g-f_{n})}$应用法图引理即可。

• . PlanetMath.

• H.L. Royden, "Real Analysis", Prentice Hall, 1988.