波前集

在欧式空间的一个区域 ${\displaystyle X\subset \mathbb {R} ^{n}}$ 中，一个分布 ${\displaystyle u\in {\mathcal {D}}'(X)}$ 在一个点 ${\displaystyle x\in X}$ 处的奇异纤维 ${\displaystyle \Sigma _{x}(u)}$，作为 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}}$的一个子集， 是在这一点所有奇异方向的余集。严格的定义用到傅里叶变换，${\displaystyle \xi \in \mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}}$ 不属于 ${\displaystyle \Sigma _{x}(u)}$ 当且仅当存在紧支集光滑函数 ${\displaystyle \phi \in C_{0}^{\infty }(X)}$ 以及 ${\displaystyle \xi }$ 的一个锥邻域（在正实数乘法下不变） ${\displaystyle \Gamma }$ 使得 ${\displaystyle \phi (x)\neq 0}$，并且在 ${\displaystyle \Gamma }$ 中有如下估计：对于任意正整数 ${\displaystyle N}$，存在正常数 ${\displaystyle C_{N}}$ 使得

${\displaystyle |{\widehat {(\phi u)}}(\eta )|\leq C_{N}(1+|\eta |)^{-N}\;\;\;\forall \;\eta \in \Gamma .}$

（我们经常将这个估计写为${\displaystyle |{\widehat {\phi u}}(\eta )|=O(\langle \eta \rangle ^{-\infty })}$。）

${\displaystyle f}$ 的波前集 ${\displaystyle {\text{WF}}(u)}$ 定义为

${\displaystyle {\text{WF}}(u)=\{(x,\xi )\in \mathbb {R} ^{n}\times (\mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}):\xi \in \Sigma _{x}(u)\}.}$

由下面波前集在坐标变化下的性质，可以定义光滑流形 ${\displaystyle X}$ 上的分布 ${\displaystyle f}$ 的波前集 ${\displaystyle {\text{WF}}(f)}$ 为余切丛去掉零截面 ${\displaystyle T^{\ast }X\setminus 0}$ 的一个锥子集。

如果 ${\displaystyle B:C_{0}^{\infty }(X)\to {\mathcal {D}}'(Y)}$有Schwarz核 ${\displaystyle K_{B}\in {\mathcal {D}}'(Y\times X)}$，定义

${\displaystyle {\text{WF}}'(B)=\{(y,\eta ,x,\xi )\in T^{\ast }Y\times T^{\ast }X:(y,\eta ,x,-\xi )\in {\text{WF}}(K_{B}).}$

对于拟微分算子 ${\displaystyle A\in \Psi ^{m}(X)}$， 可以验证 ${\displaystyle {\text{WF}}'(A)}$ 包含于 ${\displaystyle (T^{\ast }X\setminus 0)\times (T^{\ast }X\setminus 0)}$ 的对角线 ${\displaystyle \Delta (T^{\ast }X\setminus 0)=\{(x,\xi ,x,\xi ):(x,\xi )\in T^{\ast }X\setminus 0\}}$中。并且如果我们定义 ${\displaystyle {\text{WF}}(A)\subset T^{\ast }X\setminus 0}$ 如下：${\displaystyle (x_{0},\xi _{0})\not \in {\text{WF}}(A)}$ 当且仅当在${\displaystyle (x_{0},\xi _{0})}$的一个锥邻域中，${\displaystyle A}$ 的象征满足估计

${\displaystyle \sigma (A)(x,\xi )=O(\langle \xi \rangle ^{-\infty })}$

那么我们有 ${\displaystyle (x,\xi )\in {\text{WF}}(A)}$ 当且仅当 ${\displaystyle (x,\xi ,x,\xi )\in {\text{WF}}'(A)}$。

（1） 如果记 ${\displaystyle \pi :T^{\ast }X\setminus 0\to X}$ 为余切丛上自然投影，则 ${\displaystyle \pi ({\text{WF}}(u))={\text{sing supp}}(u)}$。

（2） 对于拟微分算子 ${\displaystyle A\in \Psi ^{m}}$， ${\displaystyle {\text{WF}}(Au)\subset {\text{WF}}(A)\cap {\text{WF}}(u)}$。特别的，我们有对于任意的光滑系数微分算子${\displaystyle a(x,D)}$，${\displaystyle {\text{WF}}(a(x,D)u)\subset {\text{WF}}(u)}$。

（3） 如果 ${\displaystyle f:X\to Y}$ 是一个光滑映射，记 ${\displaystyle N_{f}=\{(f(x);\eta )\in T^{\ast }Y,{}^{T}f(x)'\eta =0\}}$ 为 ${\displaystyle f}$ 的法丛。如果 ${\displaystyle u\in {\mathcal {D}}'(Y)}$满足 ${\displaystyle {\text{WF}}(u)\cap N_{f}=\emptyset }$，那么我们可以“唯一的”定义 ${\displaystyle u}$ 在 ${\displaystyle f}$ 下的拉回 ${\displaystyle f^{\ast }u\in {\mathcal {D}}'(X)}$。并且我们有 ${\displaystyle {\text{WF}}(f^{\ast }u)\subset f^{\ast }{\text{WF}}(u)}$。 特别的，如果 ${\displaystyle f}$ 是一个微分同胚，${\displaystyle {\text{WF}}(f^{\ast }u)=f^{\ast }{\text{WF}}(u)}$。所以波前集定义在余切丛上是不取决于坐标的。

（4）令 ${\displaystyle B:C_{0}^{\infty }(X)\to {\mathcal {D}}'(Y)}$ 如果将 ${\displaystyle {\text{WF}}'(B)}$ 视作从 ${\displaystyle T^{\ast }X}$ 到 ${\displaystyle T^{\ast }Y}$ 的一个关系，并且记 ${\displaystyle {\text{WF}}'_{X}(B)=WF'(B)^{-1}(0_{Y}),\;\;{\text{WF}}'_{Y}(B)=WF'(B)(0_{X})}$。这里${\displaystyle 0_{X}}$和${\displaystyle 0_{Y}}$分别是${\displaystyle X}$和${\displaystyle Y}$上余切丛的零截面。则如果 ${\displaystyle u\in {\mathcal {D}}'(X)}$满足 ${\displaystyle {\text{WF}}(u)\cap {\text{WF}}'_{X}(B)=\emptyset }$，那么我们可以“唯一的”定义${\displaystyle Bu\in {\mathcal {D}}'(Y)}$。并且我们有 ${\displaystyle {\text{WF}}(Bu)\subset {\text{WF}}'(B)({\text{WF}}(u))\cup {\text{WF}}'_{Y}(B)}$。

（5）如果 ${\displaystyle A:C_{0}^{\infty }(X)\to {\mathcal {D}}'(Y)}$ 和 ${\displaystyle B:C_{0}^{\infty }(Y)\to {\mathcal {D}}'(Z)}$ 满足 ${\displaystyle {\text{WF}}'_{Y}(A)\cap {\text{WF}}'_{Y}(B)=\emptyset }$，那么我们可以“唯一的”定义复合算子 ${\displaystyle B\circ A:C_{0}^{\infty }(X)\to {\mathcal {D}}'(Z)}$。并且我们有

${\displaystyle {\text{WF}}'(B\circ A)\subset ({\text{WF}}'_{Z}(B)\times (0_{X}))\cup (0_{Z}\times {\text{WF}}'_{X}(A))\cup ({\text{WF}}'(B)\circ {\text{WF}}'(A))}$

这里最后一项是将波前集视为关系下的复合。

以上所定义的波前集描述的是分布的关于 ${\displaystyle C^{\infty }}$ 正则性的奇异性，类似的可以定义关于实解析性的波前集 ${\displaystyle {\text{WF}}_{A}}$，关于Gevery类 ${\displaystyle G^{s}}$ 的波前集，关于Sobolev空间 ${\displaystyle H^{s}}$ 的波前集等等。在使用FBI变换的定义中，这些波前集有一个很好的统一的描述。

• Lars Hörmander, Fourier integral operators I, Acta Math. 127 (1971), pp. 79-183.
• Hörmander, Lars, , Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 256 2nd, Springer: 251–279, 1990, ISBN 0-387-52345-6 Chapter VIII, Spectral Analysis of Singularities