波動力學

1923年，德布羅意參考愛因斯坦的狹義相對論發現，如果有：

${\displaystyle hf_{o}=mc^{2}\,}$

其中 ${\displaystyle h\,}$ 是普朗克常數、${\displaystyle f_{o}\,}$ 是粒子的內部運動的頻率、${\displaystyle m\,}$ 是粒子的靜止質量、而${\displaystyle c\,}$ 是光速；那麼根據狹義相對論的質量及時間隨運動的變化，我們可得到以下兩個關係：

${\displaystyle f_{1}={\frac {mc^{2}}{h{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}={\frac {f_{o}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\,}$

${\displaystyle f_{2}=f_{o}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}\,}$

所以${\displaystyle f_{1}\neq f_{2}\,}$。

但以上兩個頻率的差別正是德布羅意的出發點。他立刻引入一個頻率為 ${\displaystyle f\,}$、相速度為 ${\displaystyle u\,}$ 的假想波，並證明如果此波與和運動粒子內部的振動 ${\displaystyle \sin {2\pi f_{2}t}\,}$ 同相，「這種相的和諧將保持下去」。並由狹義相對論的能-動關係，我們可知：

${\displaystyle p^{2}-{\frac {E^{2}}{c^{2}}}=-m^{2}c^{2}\,}$

而對於這個假想波的波數 ${\displaystyle k\,}$ 及角頻率 ${\displaystyle \omega \,}$ 亦組成一個不變量：

${\displaystyle k^{2}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\,}$

所以德布羅意假設：

${\displaystyle {\begin{cases}p\propto k\\E\propto \omega \end{cases}}\,}$

${\displaystyle {\begin{cases}p=\hbar k\\E=\hbar \omega \end{cases}}\,}$

${\displaystyle {\begin{cases}\lambda ={\dfrac {h}{p}}\\E=hf\end{cases}}\,}$

與愛因斯坦的光子的能量及動量方程 ${\displaystyle E=hf\,}$ 及 ${\displaystyle p={\dfrac {E}{c}}={\dfrac {h}{\lambda }}\,}$ 一樣，但內部的意義不同：德布羅意的公式包括了所有粒子。