波爾查諾-魏爾斯特拉斯定理

任一${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$中的有界序列${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$都至少包含一个收敛的子列。[1]^:56

任一${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$中的有界闭集必然序列紧致。[1]^:163

${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$中的一个子集${\displaystyle E}$是序列紧致的，当且仅当${\displaystyle E}$是有界闭集。[1]^:163

任何实数列必然包含单调的子列。[1]^:55

设有实数列${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$，定义集合：${\displaystyle X=\{a_{k};\ \forall n\geq k,\ a_{k}\geq a_{n}\}}$。集合中的每个元素，都比序列中排在其后的所有元素都大。

• 如果${\displaystyle X}$中有无限个元素，在其中取下标递增的一个数列，那么这个数列是${\displaystyle (a_{n})_{n\geq 0}}$的子列，并且单调递减，构造完毕。
• 如果${\displaystyle X}$中元素个数有限，那么设${\displaystyle N}$为${\displaystyle X}$中元素的下标中最大的一个。对任意${\displaystyle n>N}$，考虑${\displaystyle a_{n}}$，${\displaystyle a_{n}}$不在集合${\displaystyle X}$中，所以${\displaystyle a_{n}}$之后至少会有一个元素大于${\displaystyle a_{n}}$。换句话说，序列${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$里面排在${\displaystyle a_{N}}$後面的任一元素，它後面都必然还有一个比它大的元素。于是取${\displaystyle k_{0}=N+1}$，${\displaystyle \scriptstyle k_{1}>k_{0}}$为第一个大于${\displaystyle a_{k_{0}}}$的元素的下标，${\displaystyle \scriptstyle k_{2}>k_{1}}$为第一个大于${\displaystyle a_{k_{1}}}$的元素的下标，依此类推，就可以得到${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$的一个单调递增的子列。

综上可得，任何实数列必然包含单调的子列。

先考虑一维（也就是${\displaystyle n=1}$）的情况。给定有界的实数列${\displaystyle (a_{k})_{k\in \mathbb {N} }}$，取它的一个单调子列。不妨设这个子列单调递增，由于数列有上界，依据数列的单调收敛定理，这个子列必然收敛。

对于高维（${\displaystyle n\geqslant 2}$）的情况，证明的思路是取多次子列。

设${\displaystyle (a_{k})_{k\in \mathbb {N} }=(a_{1k},a_{2k},\cdots ,a_{nk})_{k\in \mathbb {N} }\in \mathbb {R} ^{n}}$为一个有界序列，则${\displaystyle n}$个实数列${\displaystyle (a_{ik})_{k\in \mathbb {N} },1\leq i\leq n}$都是有界数列。于是存在${\displaystyle (a_{k})_{k\in \mathbb {N} }}$的子列${\displaystyle (a_{\phi _{1}(k)})_{k\in \mathbb {N} }}$使得${\displaystyle (a_{1\phi _{1}(k)})_{k\in \mathbb {N} }}$收敛。但是${\displaystyle (a_{\phi _{1}(k)})_{k\in \mathbb {N} }}$仍是有界数列，因而存在子列${\displaystyle (a_{\phi _{2}(\phi _{1}(k))})_{k\in \mathbb {N} }}$使得${\displaystyle (a_{2\phi _{2}(\phi _{1}(k))})_{\in \mathbb {N} }}$也收敛（注意这里${\displaystyle (a_{1\phi _{2}(\phi _{1}(k))})_{k\in \mathbb {N} }}$必然是收敛的）。在进行类似的${\displaystyle n}$次操作后，我们就可以得到一个子列，使得${\displaystyle \forall 1\leq i\leq n,\ (a_{i\phi _{n}(\cdots \phi _{2}(\phi _{1}(k))\cdots )})_{k\in \mathbb {N} }}$都收敛，也就是说存在子列${\displaystyle \ (a_{\phi _{n}(\cdots \phi _{2}(\phi _{1}(k))\cdots )})_{k\in \mathbb {N} }}$收敛。证毕。

设${\displaystyle K}$为度量空间${\displaystyle (E;\;d)}$的子集。若${\displaystyle K}$中任一序列${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$都包含一个收敛的子列，其极限也是${\displaystyle K}$中元素，就称${\displaystyle K}$具有波尔查诺-魏尔斯特拉斯性质。[1]^:598