洛特卡-沃爾泰拉方程

第一式所表達的是獵物族群的增值速度：

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=\alpha x-\beta xy}$

此模型假設獵物所接受的食物供給已經達到最極限，且除非遭遇掠食者的捕食，否則繁殖數量的增加以指數方式成長，其指數成長的情形，則以上述方程式中的 αx 表現。此外並假設獵物遭遇捕食的比例，和獵物遭遇掠食者的機會成常數比，以上述方程式中的 βxy 表現。如果 x 或 y 其中一個為零，則皆有可能是沒有捕食行為出現。

由上述的方程式可知：獵物族群規模的改變，源於本身受到捕食而產生的成長衰減。

第二式所表達的是掠食者族群的增值速度：

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=\delta xy-\gamma y}$

此方程式中的 δxy 表示掠食者族群的成長（可能會與掠食者與獵物的數量比例相似，但是掠食者與獵物的數量比例是以不同的常數表示，且不一定與族群的成長相等。） γy 表示掠食者的自然死亡，為指數衰減。

由上述的方程式可知：掠食者族群規模的改變，是獵食者族群的成長，減去其自然死亡的部分。

族群的平衡會發生在族群大小不再變化的時候。例如：兩條微分方程皆等於零的時候。

${\displaystyle x(\alpha -\beta y)=0}$

${\displaystyle -y(\gamma -\delta x)=0}$

求解上述方程式的 x 與 y 可得：

${\displaystyle \left\{y=0,x=0\right\}}$

以及

${\displaystyle \left\{y={\frac {\alpha }{\beta }},x={\frac {\gamma }{\delta }}\right\},}$

由此可知有兩組解。

第一組解實際上是表示兩個物種的滅絕，若是兩個族群皆為零，則此狀況將永久持續下去。第二組解表示一個不動點，意思是兩個族群能夠維持一個不為零的數量，並且在簡單的模型中能夠永久持續。係數 α, β, γ, 與 δ ，能夠決定族群規模將在哪種情況下達成平衡狀態。

不動點的穩定性可以利用偏導數，將其以線性化方式呈現。

產生的掠食者獵物模型之雅可比矩陣如下：

${\displaystyle J(x,y)={\begin{bmatrix}\alpha -\beta y&-\beta x\\\delta y&\delta x-\gamma \\\end{bmatrix}}}$

當數值為(0,0)穩定狀態，則雅可比矩陣變成：

${\displaystyle J(0,0)={\begin{bmatrix}\alpha &0\\0&-\gamma \\\end{bmatrix}}}$

此矩陣的特徵值為：

${\displaystyle \lambda _{1}=\alpha ,\quad \lambda _{2}=-\gamma }$

模型中的 α 與 γ 永遠比零大，且每一的特徵值的符號永遠不一樣。由此可知位在原點的不動點是一個鞍點（saddle point）。

此不動點的穩定性相當重要，當處於穩定態的時候，非零的族群會趨向它。一些初始的族群可能會走向滅絕。然而當不動點位於原點時，也是一個鞍點，因此並不穩定。所以在此模型中，兩個物種皆難以滅絕。除非以人為方式將獵物完全消滅，並使掠食者因飢荒而死亡。而若是將掠食者完全消滅，則獵物的族群增長情形，將會脫離此簡單模型。

在第二不動點求 J 值可得：

${\displaystyle J\left({\frac {\gamma }{\delta }},{\frac {\alpha }{\beta }}\right)={\begin{bmatrix}0&-{\frac {\beta \gamma }{\delta }}\\{\frac {\alpha \delta }{\beta }}&0\\\end{bmatrix}}}$

此矩陣的特徵值為：

${\displaystyle \lambda _{1}=i{\sqrt {\alpha \gamma }},\quad \lambda _{2}=-i{\sqrt {\alpha \gamma }}}$

當特徵值皆為複數時，此不動點為一個焦點。實部為零使其成為一個中心。 這表示掠食者與獵物族群規模呈現循環消長，並且以此不動點為中心來回震盪。