测地曲率

令${\displaystyle C}$為曲面S上的一正則曲線，在此曲線上以其弧長${\displaystyle s}$為參數，則曲線${\displaystyle C}$的參數方程式為${\displaystyle C:r(s)=(u(s),v(s))}$，則它在P點的測地曲率${\displaystyle k_{g}}$可表為下列克氏符號（全稱克里斯多福符號，Christoffel symbols）相關的表示式[1] [2] [3]：

${\displaystyle k_{g}={\sqrt {EG-F^{2}}}\left[\Gamma _{11}^{2}\left({\frac {du}{ds}}\right)^{3}+\left(2\Gamma _{12}^{2}-\Gamma _{11}^{1}\right)\left({\frac {du}{ds}}\right)^{2}{\frac {dv}{ds}}+\left(\Gamma _{22}^{2}-2\Gamma _{12}^{1}\right){\frac {du}{ds}}\left({\frac {dv}{ds}}\right)^{2}-\Gamma _{22}^{1}\left({\frac {dv}{ds}}\right)^{3}+{\frac {du}{ds}}{\frac {d^{2}v}{ds^{2}}}-{\frac {d^{2}u}{ds^{2}}}{\frac {dv}{ds}}\right]}$

上述用克式符號表示測地曲率的一般公式即是所謂的Beltrami公式(Beltrami's formula for geodesic curvature.)[4]。這裡所用的克氏符號 Γk
ij 在有些書籍還會沿用舊式的 {k
ij}符號注記。由於克式符號屬曲面的內蘊性質，而上述測地曲率一般公式只和克式符號與曲面第一基本形式有關，因此，測地曲率必然是屬曲面的內蘊幾何量[5]。

今若曲線${\displaystyle C}$是沿著${\displaystyle u=(s)}$座標線的話，此時${\displaystyle v=}$常數，使得${\displaystyle dv/ds=0}$以及${\displaystyle du/ds=1/{\sqrt {g_{11}}}}$，那麼其測地曲率可算得為：

${\displaystyle (k_{g})_{u-line}=\Gamma _{11}^{2}{\dfrac {\sqrt {EG-F^{2}}}{E{\sqrt {E}}}}=\Gamma _{11}^{2}\left({\dfrac {g^{1/2}}{g_{11}^{3/2}}}\right)}$

同理，假如曲線${\displaystyle C}$是沿著${\displaystyle v=(s)}$座標線的話，使得${\displaystyle u=}$常數，因此${\displaystyle du/ds=0}$以及${\displaystyle dv/ds=1/{\sqrt {g_{22}}}}$，那麼其測地曲率可化簡為：

${\displaystyle (k_{g})_{v-line}=-\Gamma _{22}^{1}{\dfrac {\sqrt {EG-F^{2}}}{G{\sqrt {G}}}}=-\Gamma _{22}^{1}\left({\dfrac {g^{1/2}}{g_{22}^{3/2}}}\right)}$

令${\displaystyle C}$為曲面S上的一正則曲線，在此曲線上以其弧長${\displaystyle s}$為參數，則曲線${\displaystyle C}$的參數方程式為${\displaystyle C:r(s)=(u(s),v(s))}$，今其參數化是採正交座標系，換言之，第一基本形式的係數${\displaystyle F=0}$，又令曲線${\displaystyle C}$在P點與${\displaystyle u}$座標線的夾角為${\displaystyle \theta }$，則它在P點的測地曲率${\displaystyle k_{g}}$可表為下列與${\displaystyle \theta (s)}$夾角相關的Liouville公式[6] [7] [8]：

${\displaystyle {\begin{aligned}k_{g}&={\dfrac {d\theta (s)}{ds}}-{\dfrac {1}{2{\sqrt {G}}}}{\dfrac {\partial \ln E}{\partial v}}\cos \theta +{\dfrac {1}{2{\sqrt {E}}}}{\dfrac {\partial \ln G}{\partial u}}\sin \theta \\&={\dfrac {d\theta (s)}{ds}}+(k_{g})_{u-line}\cos \theta +(k_{g})_{v-line}\sin \theta \\&={\dfrac {d\theta (s)}{ds}}+(k_{g})_{u-line}{\sqrt {E}}{\dfrac {du}{ds}}+(k_{g})_{v-line}{\sqrt {G}}{\dfrac {dv}{ds}}\end{aligned}}}$

上述公式中的${\displaystyle (k_{g})_{u-line}}$與${\displaystyle (k_{g})_{v-line}}$乃分屬於兩個座標線對應的測地曲率，至於它們的具體表徵是什麼，接下來將分別推導出其詳細內容。首先，考量如若曲線${\displaystyle C}$是沿著${\displaystyle u=(s)}$座標線的話，此時${\displaystyle v=}$常數，則有${\displaystyle dv/ds=0}$以及${\displaystyle du/ds=1/{\sqrt {E}}}$，那麼該測地曲率可算得為：

${\displaystyle (k_{g})_{u-line}=-{\dfrac {E_{v}}{2E{\sqrt {G}}}}}$

同理，假如曲線${\displaystyle C}$是沿著${\displaystyle v=(s)}$座標線的話，此時${\displaystyle u=}$常數，導致${\displaystyle du/ds=0}$以及${\displaystyle dv/ds=1/{\sqrt {G}}}$，那麼此測地曲率可算得為：

${\displaystyle (k_{g})_{v-line}={\dfrac {G_{u}}{2G{\sqrt {E}}}}}$

以上測地曲率之Liouville公式就已列出有三種，若覺得怎麼會有這麼多樣形式，其實還有其他變形，例如可參考網路上更加精簡且優美的形式[9]，這端賴解析問題時，需要配套什麼形式的公式而定。