浸没 (数学)

令M、N是微分流形，${\displaystyle f\colon M\to N}$是它们间的可微映射。映射f是点${\displaystyle p\in M}$处的浸没，若其微分

${\displaystyle Df_{p}\colon T_{p}M\to T_{f(p)}N}$

是线性满射。[1]这种情况下，p被称作映射f的正则点（regular point）；否则，p就是临界点。若原像${\displaystyle f^{-1}(q)}$中所有的点p都是正则点，则点${\displaystyle q\in N}$是f的正则值。在每点${\displaystyle p\in M}$上都是浸没的可微映射f也称作浸没，等价地，若f的微分${\displaystyle Df_{p}}$的秩等于N的维度，则f是浸没。

需要注意：有人用“临界点”描述f的雅可比矩阵的秩不取最大值的点。[2]这在奇异理论中是更有用的概念。若M的维度不小于N的维度，则这两个临界点的概念是重合的；但若M的维度小于N的维度，则据上述定义，所有点都是临界点（微分不可能是满射），而雅可比矩阵的秩仍可能是最大的（若等于M的维度）。上述定义更常用，如在萨德定理的表述中。

给定m维、n维光滑流形之间的浸没${\displaystyle f\colon M\to N}$，${\displaystyle \forall x\in M}$，有围绕x的M的满射图（chart）${\displaystyle \phi :U\to \mathbb {R} ^{m}}$、围绕${\displaystyle f(x)}$的N的${\displaystyle \psi :V\to \mathbb {R} ^{n}}$，使得f限制到浸没${\displaystyle f\colon U\to V}$，用坐标表示为${\displaystyle \psi \circ f\circ \phi ^{-1}:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}$，就变为普通的正交投影。应用中，${\displaystyle \forall p\in N}$，f对应的纤维表示为${\displaystyle M_{p}=f^{-1}(\{p\})}$，可配备M的光滑子流形结构，其维度等于N与M维度之差。

该定理是反函数定理的结果（见反函数定理#流形）。

例如，考虑${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} }$由${\displaystyle f(x,y,z)=x^{4}+y^{4}+z^{4}}$给出。雅各比矩阵是

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x}}&{\frac {\partial f}{\partial y}}&{\frac {\partial f}{\partial z}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}4x^{3}&4y^{3}&4z^{3}\end{bmatrix}}.}$

除原点外，这在每一点都有最大秩。另外，纤维

${\displaystyle f^{-1}(\{t\})=\left\{(a,b,c)\in \mathbb {R} ^{3}:a^{4}+b^{4}+c^{4}=t\right\}}$

在${\displaystyle t<0}$时是空集，${\displaystyle t=0}$时等于一个点。因此，我们只有一个光滑浸没${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{3}\setminus \{(0,0,0)\}\to \mathbb {R} _{>0},}$与子集${\displaystyle M_{t}=\left\{(a,b,c)\in \mathbb {R} ^{3}:a^{4}+b^{4}+c^{4}=t\right\}}$是${\displaystyle t>0}$时的2维光滑流形。

• 任何投影${\displaystyle \pi \colon \mathbb {R} ^{m+n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}\subset \mathbb {R} ^{m+n}}$
• 局部微分同胚
• 黎曼浸没
• 光滑向量丛或更一般的光滑纤维化中的投影。微分的满射性是局部平凡化存在的必要条件。

若${\displaystyle f:\ M\to N}$是p处的浸没，${\displaystyle f(p)=q\in N}$，则在M中存在p的开邻域U、在N中存在q的开邻域V，在p处有局部坐标${\displaystyle (x_{1},\ \ldots ,\ x_{m})}$，在q处有局部坐标${\displaystyle (x_{1},\ \ldots ,\ x_{n})}$，使得${\displaystyle f(U)=V}$，且在这些局部坐标中的映射f是标准投影

${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n},x_{n+1},\ldots ,x_{m})=(x_{1},\ldots ,x_{n}).}$

可知，在可微映射${\displaystyle f:\ M\to N}$的作用下，N中的正则值q在M中的全原像${\displaystyle f^{-1}(q)}$要么是空的，要么是${\displaystyle {\rm {dim}}M-{\rm {dim}}N}$维微分流形，但可能不连通。这是正则值定理的内容（也叫浸没定理）。尤其是，若f是浸没，则${\displaystyle \forall q\in N}$，结论都成立。

一般拓扑流形的浸没也是良定义的。[3]拓扑流形浸没是连续满射${\displaystyle f:\ M\to N}$，使得${\displaystyle \forall p\in M}$，对p上的某连续图ψ、f(p)处的φ，映射${\displaystyle \psi ^{-1}\circ f\circ \varphi }$等于射影映射${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}$（${\displaystyle m={\rm {dim}}(M)\geq n={\rm {dim}}(N)}$）。

• 埃雷斯曼纤维化定理

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• https://mathoverflow.net/questions/376129/what-are-the-sufficient-and-necessary-conditions-for-surjective-submersions-to-b?rq=1 （页面存档备份，存于）