消失矩

消失矩(Vanishing Moments),在連續小波變換(Continuous Wavelet Transform),是一項非常重要的參數,用來檢視母小波(Mother wavelet)是否為高頻的函數。

Vanish moment 越高,經過內積後被濾掉的低頻成分越多

在實務上,Vanish moment=5

由來

在連續小波變換中,母小波有4個主要限制如下。

1. 有值區間必須是有限的(Compact Support):

母小波不能是一個無限長的函數。

2. 必須是實函數(Real) :

因為要處理的影像不會是複數信號,且為了方便計算。

3. 偶對稱(Even Symmetric)或是奇對稱(Odd Symmetric)

4. 消失矩越高越好:

這項是最難滿足的一項。

5.

Admissibility Criterion 要存在才存在反小波轉換

定義

首先定義第 個動量( moment):

則我們說 個消失矩。

如何計算消失矩

我們可以看到 不太好計算,尤其是 很大的時候。

此時,可以善用傅立葉轉換來進行計算。

計算第0個動量

首先,觀察傅立葉轉換的公式:

當令時,可以看到以上公式變成:

正是第0個動量

因此,若要計算 的第0個動量,可以先計算 的傅立葉轉換,再取直流項(也就是 )。

計算第k個動量

我們可以同樣利用傅立葉轉換來計算第 個動量。

首先,傅立葉轉換有一個性質: 在頻域微分 次,就相當於時域乘上  :

當令時,可以看到以上公式變成:

正是第 個動量

因此,若要計算 的第k個動量,可以先計算 的傅立葉轉換的k次微分,再取直流項(也就是 )。

一些常用函數的消失矩

分成兩類連續函數連續函數的離散係數

  • 連續函數:哈爾基底、墨西哥帽函數
  • 連續函數的離散係數:多貝西小波(Daubechies wavelet)、Symlet 、 Coiflet

連續函數

哈爾小波轉換是最簡單的一種小波轉換,使用哈爾基底(Haar Basis)來做母小波。

而墨西哥帽函數(Mexican hat function)也常被用來當母小波。

哈爾基底

哈爾基底的數學表示式如下:

是一個奇函數,所以

是偶函數,所以

因此,哈爾基底消失矩為1

墨西哥帽函數

墨西哥帽函數的數學表示式:

仔細觀察, 其實是高斯函數的二次微分:

 常數。 

而高斯函數做傅立葉轉換仍是高斯函數:

利用

可以算出

所以墨西哥帽函數消失矩為2

高斯函數的p次微分

墨西哥帽函數是高斯函數的二次微分,所以消失矩為2。

其傅立葉轉換為

利用

可以算出

所以高斯函數p次微分消失矩為p


連續函數的離散係數

多貝西小波(Daubechies wavelet)、Symlet 、 Coiflet都是一些常用的離散小波,而且都是由連續小波的離散係數推導而來。

且這三種都是orthonormal filters

多貝西小波

 點的多貝西小波,消失矩 

Symlet

 點的Symlet,消失矩 

Coiflet

 點的Coiflet,消失矩 

三者的比較

  1. Symlet和多貝西小波非常類似,但是比多貝西小波還要對稱。
  2. Coiflet 在scaling function 存在 vanish moment.

消失矩對於函數的意義

消失矩是用以判斷一個函數如何遞減的指標。舉例來說,對於函數

當輸入值逐漸往無限大增加時,此函數會以的速率遞減。 我們可用利用定義中的動量積分式來評估此函數的遞減速率。

回到此範例中的函數,當時,由於分子會在之間震盪,使得整個函數在震盪。

此性質使得時,

函數積分式必定會收斂於0,代表第0個動量

時,

因此第1個動量

對於的情況,動量積分式均會隨著而發散。

由以上的範例,我們可藉由能夠讓動量積分式收斂為0的最大值來判斷函數的遞減速率,而此最大值便是函數的消失矩。

在連續小波轉換中,設計母小波的其中一個條件是有值區間比須是有限的,而母小波在有值區間內如何遞減的特性,則可由消失矩來描述。

消失矩的等價敘述

依照定義,小波母函數 個消失矩的條件為

然而由於此定義中包含了一個無限範圍的連續積分,因此在設計小波母函數上並不實用。

若定義小波轉換中的尺度函數為,當以下小波母函數和尺度函數的關係成立時,

下列四項敘述便是等價的:

1. 小波母函數個消失矩。

2. 的傅立葉轉換,以及前次微分在處均為零。

3. 的傅立葉轉換,以及前次微分在處均為零。

4. 對於 區間內的任意

是最高次方為 的多項式函數。

消失矩與小波函數的設計

當濾波器的傅立葉轉換滿足以下的條件時,

此濾波器滿足共軛鏡像濾波器的條件。其中代表離散低通濾波器離散低通濾波器的傅立葉轉換。

結合共軛鏡像濾波器的條件與消失矩的第3個等價敘述,我們可以將低通濾波器表示為

其中為一多項式函數。

利用上述條件與消失矩的等價敘述,可以簡化設計小波函數的步驟。

消失矩與濾波器長度

在小波轉換中,尺度函數和小波母函數可利用離散濾波器來定義:

其中為離散低通濾波器,則為離散高通濾波器,通常會利用支撐大小(Size of support)來表示濾波器的長度。

從上述的表示式可得知,

當我們選擇較高的消失矩時,將會是具有較高次方的多項式函數,因此對應到的便有較長的濾波器長度。

一般而言,擁有較高的消失矩與較短的濾波器長度是一個交換條件的關係,無法兩者同時滿足。

因此在設計連續小波轉換中的小波母函數時,除了消失矩外,也應當把所對應到的濾波器長度考慮進去。

參考文獻

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