熱帶幾何

定義熱帶半環（又稱極小-加法代數，見下述定義）為 ${\displaystyle (\mathbf {R} \cup \{\infty \},\oplus ,\otimes )}$，其運算為：

${\displaystyle x\oplus y=\min\{\,x,y\,\},\,}$

${\displaystyle x\otimes y=x+y.\,}$

此半環中的單項式不外就是線性映射；而多項式是對若干個線性映射取極小值，因此是個分片線性凹函數。稱之為熱帶多項式。一個熱帶多項式 ${\displaystyle F}$ 的非光滑點集合稱為熱帶超曲面。可以證明：

1. 熱帶超曲面即是滿足「零張力條件」的有理多面體複形。
2. 設 ${\displaystyle K}$ 為皮瑟級數環，這是一個代數封閉的非阿基米德域。熱帶超曲面即 ${\displaystyle K}$ 上的變形體。

上述兩種刻劃提供了組合學與代數學之間的對應。給定一個合適的代數問題，我們可將之轉化為較易處理的組合問題以求解。

一如代數幾何中的情形，熱帶超曲面的定義可以推廣到熱帶簇：取 ${\displaystyle K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ 中的理想 ${\displaystyle I}$，定義相應的熱帶簇 ${\displaystyle V(I)}$ 為 ${\displaystyle I}$ 的變形體。可以證明 ${\displaystyle V(I)=\bigcap _{f\in I}V(f)}$，而且可取有限并集。

目前已有較深入研究的是平面上的熱帶幾何。許多代數幾何中的古典定理皆有相應的版本。

• First Steps in Tropical Geometry
• Tropical geometry of statistical models （页面存档备份，存于）
• The Tropical Grassmanian
• Enumerative tropical algebraic geometry in R2
• Amoebas of algebraic varieties and tropical geometry
• Tropical Mathematics
• Non-archimedean amoebas and tropical varieties
• Computing Tropical Varieties
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• Tropical Geometry, I